Как можно найти синус альфа и котангенс альфа, если дано, что тангенс равен 3 и альфа не находится в третьей и четвертой четвертях?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции синус альфа котангенс альфа тангенс альфа алгебра 11 класс Тригонометрия вычисление синуса вычисление котангенса Углы тригонометрические функции первая четверть вторая четверть Новый

Чтобы найти синус и котангенс угла альфа, когда дано, что тангенс альфа равен 3, и угол альфа не находится в третьей и четвертой четвертях, мы можем следовать следующим шагам.

1. Начнем с определения котангенса:

   Котангенс угла альфа равен обратной величине тангенса:

   ctg(альфа) = 1/tg(альфа) = 1/3.

2. Теперь найдем синус угла альфа:

   Мы знаем, что тангенс угла альфа может быть выражен через синус и косинус:

   tg(альфа) = sin(альфа) / cos(альфа).

   Используя информацию о тангенсе, мы можем записать:

   sin(альфа) = 3 * cos(альфа).

3. Применим основное тригонометрическое тождество:

   Согласно основному тригонометрическому тождеству, мы знаем, что:

   sin²(альфа) + cos²(альфа) = 1.

   Подставим выражение для синуса в это тождество:

   (3 * cos(альфа))² + cos²(альфа) = 1.

   Это упростится до:

   9 * cos²(альфа) + cos²(альфа) = 1,

   то есть:

   10 * cos²(альфа) = 1.

4. Решим это уравнение для косинуса:

   cos²(альфа) = 1/10,

   cos(альфа) = ±√(1/10) = ±1/√10.

   Поскольку угол альфа находится в первой четверти, косинус будет положительным:

   cos(альфа) = 1/√10.

5. Теперь найдем синус:

   Используя найденное значение косинуса, мы можем найти синус:

   sin(альфа) = 3 * cos(альфа) = 3 * (1/√10) = 3/√10.

   Чтобы привести это значение к более удобной форме, умножим числитель и знаменатель на √10:

   sin(альфа) = (3√10)/10.

Таким образом, мы нашли, что:

• sin(альфа) = (3√10)/10,
• ctg(альфа) = 1/3.

Это и есть искомые значения синуса и котангенса угла альфа.