Похожие вопросы
2025-08-28 05:40:50
34. Решите неравенство: 2 в степени (5x-1) + 2 в степени (5x-2) + 2 в степени (5x-3) - 896 < 0. Какие из следующих вариантов являются решениями?
- A) (-∞; -2)
- B) (-∞; 2)
- C) (-∞; 0,2)
- D) (-∞; 10)
35. Решите неравенство: 4 в степени x < 2 в степени (x+1) + 3. Какие из следующих вариантов являются решениями?
- A) x > log2 3
- B) 0 < x < 1
- C) x < log2 3
- D) x > log2 √3
Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией алгебра 11 класс неравенства решение неравенств степени логарифмы математические задачи подготовка к экзаменам алгебраические уравнения математическая аналитика учебные материалы
2025-08-28 05:41:05
34. Решение неравенства:
Дано неравенство:
2^(5x-1) + 2^(5x-2) + 2^(5x-3) - 896 < 0.
Для упрощения, давайте представим 2^(5x-1) как переменную:
Обозначим y = 2^(5x-3). Тогда:
- 2^(5x-1) = 2^2 * y = 4y,
- 2^(5x-2) = 2^1 * y = 2y,
- 2^(5x-3) = y.
Теперь подставим это в неравенство:
4y + 2y + y - 896 < 0.
Это упрощается до:
7y - 896 < 0.
Отсюда:
7y < 896.
y < 896 / 7.
Теперь найдем значение 896/7:
896 / 7 = 128.
Так как y = 2^(5x-3), получаем:
2^(5x-3) < 128.
Преобразуем 128 в степень двойки:
128 = 2^7.
Теперь у нас есть:
2^(5x-3) < 2^7.
Так как основание 2 больше 1, неравенство сохраняет направление:
5x - 3 < 7.
Решим это неравенство:
- 5x < 10,
- x < 2.
Таким образом, решение неравенства:
x < 2.
Теперь рассмотрим варианты:
- A) (-∞; -2) - верно,
- B) (-∞; 2) - верно,
- C) (-∞; 0,2) - верно,
- D) (-∞; 10) - верно.
Ответ: B) (-∞; 2).
35. Решение неравенства:
Дано неравенство:
4^x < 2^(x+1) + 3.
Запишем 4^x как (2^2)^x = 2^(2x):
2^(2x) < 2^(x+1) + 3.
Теперь упростим правую часть:
2^(x+1) = 2 * 2^x = 2^(x) * 2.
Таким образом, неравенство принимает вид:
2^(2x) < 2 * 2^x + 3.
Переносим все в одну сторону:
2^(2x) - 2 * 2^x - 3 < 0.
Теперь сделаем замену:
Обозначим z = 2^x. Тогда:
z^2 - 2z - 3 < 0.
Решим квадратное неравенство:
z^2 - 2z - 3 = 0.
Находим корни при помощи дискриминанта:
D = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
Корни:
- z1 = (2 + 4) / 2 = 3,
- z2 = (2 - 4) / 2 = -1.
Так как z = 2^x, то z всегда положительное, поэтому рассматриваем только z < 3.
Теперь вернемся к z:
2^x < 3.
Применим логарифм по основанию 2:
x < log2(3).
Теперь рассмотрим варианты:
- A) x > log2(3) - неверно,
- B) 0 < x < 1 - может быть верно, но не обязательно,
- C) x < log2(3) - верно,
- D) x > log2(√3) - неверно, так как log2(√3) < log2(3).
Ответ: C) x < log2(3).