Как решить неравенство: 2^X + 80*2^(4-x) >= 261?

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией решение неравенств алгебра 11 класс неравенство 2^X задачи по алгебре математические неравенства Новый

Чтобы решить неравенство 2^X + 80*2^(4-x) >= 261, начнем с упрощения его. Мы можем переписать вторую часть неравенства:

• Заметим, что 2^(4-x) = 2^4 * 2^(-x) = 16 * 2^(-x).
• Подставим это в неравенство: 2^X + 80 * 16 * 2^(-x) >= 261.
• Упростим: 2^X + 1280 * 2^(-x) >= 261.

Теперь давайте умножим обе стороны неравенства на 2^x (при этом помним, что 2^x всегда положительно, поэтому знак неравенства не изменится):

• Получаем: (2^X)^2 + 1280 >= 261 * 2^X.
• Обозначим y = 2^X. Тогда неравенство принимает вид: y^2 - 261y + 1280 >= 0.

Теперь решим квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

• Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: y = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -261, c = 1280.
• Сначала вычислим дискриминант: D = (-261)² - 4*1*1280 = 68121 - 5120 = 63001.
• Теперь находим корни:
• y1 = (261 + √63001) / 2,
• y2 = (261 - √63001) / 2.

Теперь определим, где выражение y^2 - 261y + 1280 больше или равно нулю. Для этого рассмотрим знаки на промежутках, определенных корнями:

• Решим неравенство: (y - y1)(y - y2) >= 0.
• Знак выражения будет положительным, если y ≤ y2 или y ≥ y1.

Теперь подставим обратно y = 2^X:

• 2^X ≤ y2 или 2^X ≥ y1.
• Необходимо найти значения X, соответствующие найденным значениям y1 и y2.

Итак, мы получили два интервала для X:

• X ≤ log2(y2) или X ≥ log2(y1).

Теперь вам нужно подставить значения y1 и y2, которые вы нашли ранее, и вычислить логарифмы, чтобы получить окончательные границы для X. После этого вы сможете записать ответ для неравенства.