Решите неравенство

2^X + 80 * 2^(4 - x) больше или равно 261

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией алгебра 11 класс неравенство решение неравенства 2^X 80 * 2^(4 - x) математические задачи подготовка к экзаменам алгебраические уравнения анализ неравенств Новый

Для решения неравенства 2^X + 80 * 2^(4 - x) ≥ 261 начнем с упрощения выражения.

Сначала заметим, что 2^(4 - x) можно переписать как 2^4 / 2^X, что равняется 16 / 2^X. Таким образом, неравенство можно переписать следующим образом:

2^X + 80 * (16 / 2^X) ≥ 261

Теперь упростим это выражение:

• Умножим 80 и 16: 80 * 16 = 1280.
• Подставим это значение в неравенство: 2^X + 1280 / 2^X ≥ 261.

Далее, чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны неравенства на 2^X (при этом 2^X > 0 для всех X):

(2^X) * 2^X + 1280 ≥ 261 * 2^X

Теперь запишем это в виде:

2^(2X) + 1280 ≥ 261 * 2^X

Перепишем неравенство, перенесем все в одну сторону:

2^(2X) - 261 * 2^X + 1280 ≥ 0

Теперь сделаем замену: y = 2^X. Тогда неравенство принимает вид:

y^2 - 261y + 1280 ≥ 0

Теперь решим это квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

y^2 - 261y + 1280 = 0

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (−b ± √(b^2 − 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -261, c = 1280.

Подставим значения:

• b^2 = 261^2 = 68121
• 4ac = 4 * 1 * 1280 = 5120
• Дискриминант D = 68121 - 5120 = 63001

Теперь найдем корни:

y1,2 = (261 ± √63001) / 2

Приблизительно посчитаем корни:

• √63001 ≈ 251.0
• y1 ≈ (261 + 251) / 2 = 256
• y2 ≈ (261 - 251) / 2 = 5

Теперь у нас есть два корня: y1 ≈ 256 и y2 ≈ 5.

Решение неравенства y^2 - 261y + 1280 ≥ 0 будет в интервалах, где парабола лежит выше оси y. Это происходит вне корней:

y ≤ 5 или y ≥ 256.

Теперь вернемся к переменной X:

• Для y ≤ 5: 2^X ≤ 5 ⇒ X ≤ log2(5).
• Для y ≥ 256: 2^X ≥ 256 ⇒ X ≥ 8, так как 256 = 2^8.

Таким образом, окончательное решение неравенства:

X ≤ log2(5) или X ≥ 8.