Как решить неравенство: 0,5^(x^2 - 4x) ≥ 8?

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией решение неравенства алгебра 11 класс неравенство 0,5^(x^2 - 4x) ≥ 8 методы решения неравенств график функции Новый

Чтобы решить неравенство 0,5^(x^2 - 4x) ≥ 8, следуем следующим шагам:

1. Переписываем неравенство: Сначала заметим, что 8 можно выразить через степень 0,5. Мы знаем, что 8 = 0,5^(-3), так как 0,5 = 1/2, а 2^3 = 8. Таким образом, можем переписать неравенство:
• 0,5^(x^2 - 4x) ≥ 0,5^(-3)
2. Используем свойства степеней: Если основание 0,5 меньше 1, то неравенство изменяет знак при переходе к сравнению показателей степени. Таким образом, мы можем записать:
• x^2 - 4x ≤ -3
3. Приводим неравенство к стандартному виду: Переносим все члены в одну сторону:
• x^2 - 4x + 3 ≤ 0
4. Решаем квадратное неравенство: Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения x^2 - 4x + 3 = 0. Используем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*1*3 = 16 - 12 = 4.
5. Корни уравнения:
• x1 = (4 + √D) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3
• x2 = (4 - √D) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1
6. Определяем интервалы: Теперь у нас есть корни x1 = 3 и x2 = 1. Эти корни делят числовую ось на три интервала:
• (-∞, 1)
• (1, 3)
• (3, +∞)
7. Проверяем знак функции на каждом интервале: Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство x^2 - 4x + 3:
• Для интервала (-∞, 1), например, x = 0: 0^2 - 4*0 + 3 = 3 (положительное)
• Для интервала (1, 3), например, x = 2: 2^2 - 4*2 + 3 = 1 (положительное)
• Для интервала (3, +∞), например, x = 4: 4^2 - 4*4 + 3 = 3 (положительное)
8. Итак, функция меняет знак на интервале (1, 3): В этом интервале функция принимает отрицательные значения. Также не забываем, что в точках x = 1 и x = 3 функция равна нулю (включаем эти точки в ответ).

Ответ: x ∈ [1, 3].