Помогите, пожалуйста, решить неравенство: 4^(1-x) + 4^x ≥ 5. Я пропустил все уроки на тему решения таких примеров.

Алгебра 11 класс Неравенства с показательной функцией решение неравенства алгебра 11 класс 4^(1-x) + 4^x ≥ 5 пропущенные уроки алгебры помощь по алгебре Новый

Давайте разберем это неравенство шаг за шагом. У нас есть неравенство:

4^(1-x) + 4^x ≥ 5

Первое, что мы можем сделать, это упростить выражение. Мы знаем, что 4^(1-x) можно записать как:

4^(1-x) = 4 * 4^(-x) = 4 / 4^x

Таким образом, мы можем переписать неравенство следующим образом:

4 / 4^x + 4^x ≥ 5

Теперь давайте обозначим y = 4^x. Это упрощает наше неравенство:

4/y + y ≥ 5

Теперь умножим обе стороны неравенства на y (при условии, что y > 0, что верно, поскольку 4^x всегда положительно):

4 + y^2 ≥ 5y

Переписываем это неравенство:

y^2 - 5y + 4 ≥ 0

Теперь мы можем решить квадратное неравенство. Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

y^2 - 5y + 4 = 0

Используем дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

Теперь находим корни:

y1,2 = (5 ± √9) / 2 = (5 ± 3) / 2

Таким образом, корни:

• y1 = (5 + 3) / 2 = 8 / 2 = 4
• y2 = (5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1

Теперь у нас есть корни y = 1 и y = 4. Мы можем разбить числовую ось на интервалы:

• (-∞, 1)
• (1, 4)
• (4, +∞)

Теперь проверим знак выражения y^2 - 5y + 4 на каждом из этих интервалов:

1. Для интервала (-∞, 1): возьмем, например, y = 0. Подставляем: 0^2 - 5*0 + 4 = 4 (положительно).
2. Для интервала (1, 4): возьмем, например, y = 2. Подставляем: 2^2 - 5*2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 (отрицательно).
3. Для интервала (4, +∞): возьмем, например, y = 5. Подставляем: 5^2 - 5*5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 (положительно).

Теперь мы знаем, что неравенство y^2 - 5y + 4 ≥ 0 выполняется на интервалах:

• (-∞, 1]
• [4, +∞)

Теперь вернемся к переменной y = 4^x. Мы знаем, что:

• 4^x ≤ 1, что означает x ≤ 0
• 4^x ≥ 4, что означает x ≥ 1

Таким образом, окончательный ответ:

x ≤ 0 или x ≥ 1

Это и есть решение нашего неравенства.