а) Как можно решить уравнение 3^(1+2tg3x )–10* 3^(tg 3x) + 3 = 0?

б) Как определить все корни уравнения, которые находятся в пределах отрезка [-п/2 ; п/2]?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решение уравнения корни уравнения алгебра 11 класс уравнение 3^x tg 3x отрезок [-п/2; п/2] алгебраические методы нахождение корней тригонометрические функции уравнения с показателями Новый

Для решения уравнения 3^(1 + 2tg(3x)) - 10 * 3^(tg(3x)) + 3 = 0, давайте начнем с упрощения. Обозначим y = 3^(tg(3x)). Тогда уравнение можно переписать в следующем виде:

1. Подстановка:

• 3^(1 + 2tg(3x)) = 3 * 3^(tg(3x))^2 = 3y^2
• 10 * 3^(tg(3x)) = 10y

Теперь у нас есть новое уравнение:

3y^2 - 10y + 3 = 0

2. Решение квадратного уравнения:

Это квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 * 3 * 3 = 100 - 36 = 64

Теперь находим корни уравнения:

• y1 = (10 + √64) / (2 * 3) = (10 + 8) / 6 = 18 / 6 = 3
• y2 = (10 - √64) / (2 * 3) = (10 - 8) / 6 = 2 / 6 = 1/3

3. Обратная подстановка:

Теперь возвращаемся к переменной tg(3x):

• 3^(tg(3x)) = y1 = 3: tg(3x) = log3(3) = 1
• 3^(tg(3x)) = y2 = 1/3: tg(3x) = log3(1/3) = -1

4. Решение для tg(3x):

• tg(3x) = 1: 3x = π/4 + kπ, где k - целое число
• tg(3x) = -1: 3x = -π/4 + kπ, где k - целое число

5. Получение x:

• x = (π/12) + (kπ/3)
• x = (-π/12) + (kπ/3)

б) Определение всех корней уравнения в пределах отрезка [-π/2; π/2]:

Теперь нужно найти значения k, чтобы x находилось в заданном интервале.

1. Для x = (π/12) + (kπ/3):

• k = 0: x = π/12 (попадает в интервал)
• k = -1: x = π/12 - π/3 = -π/12 (попадает в интервал)
• k = -2: x = π/12 - 2π/3 = -7π/12 (не попадает в интервал)
• k = 1: x = π/12 + π/3 = 5π/12 (попадает в интервал)
• k = 2: x = π/12 + 2π/3 = 11π/12 (не попадает в интервал)

2. Для x = (-π/12) + (kπ/3):

• k = 0: x = -π/12 (попадает в интервал)
• k = -1: x = -π/12 - π/3 = -5π/12 (не попадает в интервал)
• k = 1: x = -π/12 + π/3 = π/4 (попадает в интервал)

Итак, все корни уравнения в пределах отрезка [-π/2; π/2]:

• x = π/12
• x = -π/12
• x = 5π/12
• x = π/4

Таким образом, мы нашли все корни уравнения и определили их в заданном интервале.