Как решить уравнение 2sin^2x+3cosx-3=0 и найти корни, которые удовлетворяют условию sinx<0?

Алгебра 11 класс Уравнения с тригонометрическими функциями решить уравнение 2sin^2x 3cosx найти корни условие sinx<0 алгебра тригонометрические уравнения математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение 2sin^2(x) + 3cos(x) - 3 = 0, начнем с того, что мы знаем, что sin^2(x) можно выразить через cos(x) с помощью тригонометрической тождества:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x).

Подставим это выражение в наше уравнение:

1. Заменим sin^2(x) в уравнении:
2. 2(1 - cos^2(x)) + 3cos(x) - 3 = 0.

Теперь упростим уравнение:

1. Раскроем скобки:
2. 2 - 2cos^2(x) + 3cos(x) - 3 = 0.
3. Соберем подобные слагаемые:
4. -2cos^2(x) + 3cos(x) - 1 = 0.

Теперь умножим уравнение на -1, чтобы упростить его:

2cos^2(x) - 3cos(x) + 1 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно cos(x). Используем формулу для решения квадратных уравнений:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 2, b = -3, c = 1.

Сначала найдем дискриминант:

1. D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 2 * 1 = 9 - 8 = 1.

Теперь подставим значения в формулу:

1. cos(x) = (3 ± √1) / (2 * 2).
2. cos(x) = (3 ± 1) / 4.

Теперь найдем два возможных значения для cos(x):

1. cos(x) = (3 + 1) / 4 = 4 / 4 = 1.
2. cos(x) = (3 - 1) / 4 = 2 / 4 = 1/2.

Теперь найдем корни x для каждого значения cos(x):

1. Для cos(x) = 1:
• x = 0 + 2πk, где k - целое число.
2. Для cos(x) = 1/2:
• x = π/3 + 2πk и x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

Теперь, чтобы найти корни, которые удовлетворяют условию sin(x), нам нужно проверить значения sin(x) для найденных корней:

1. Для x = 0: sin(0) = 0.
2. Для x = π/3: sin(π/3) = √3/2.
3. Для x = 5π/3: sin(5π/3) = -√3/2.

Таким образом, корни уравнения 2sin^2(x) + 3cos(x) - 3 = 0, которые удовлетворяют условию sin(x), это:

• x = 0 + 2πk, где k - целое число;
• x = π/3 + 2πk, где k - целое число;
• x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.