А) Решите уравнение cos(2x) + √3 * cos(π/2 - x) + 2 = 0

Б) Найдите все корни уравнения, которые принадлежат промежутку {-3π; -2/3π}

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические Решите уравнение корни уравнения алгебра cos(2X) промежуток математические задачи тригонометрические функции уравнения с косинусом Новый

Давайте решим уравнение cos(2x) + √3 * cos(π/2 - x) + 2 = 0.

Шаг 1: Упростим выражение cos(π/2 - x). По формуле приведения мы знаем, что:

• cos(π/2 - x) = sin(x).

Шаг 2: Подставим это в уравнение:

cos(2x) + √3 * sin(x) + 2 = 0.

Шаг 3: Теперь вспомним, что cos(2x) можно выразить через sin(x):

• cos(2x) = 1 - 2sin²(x).

Шаг 4: Подставим это в уравнение:

1 - 2sin²(x) + √3 * sin(x) + 2 = 0.

Шаг 5: Упростим уравнение:

-2sin²(x) + √3 * sin(x) + 3 = 0.

Шаг 6: Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

2sin²(x) - √3 * sin(x) - 3 = 0.

Шаг 7: Теперь это квадратное уравнение относительно sin(x). Обозначим y = sin(x). Уравнение примет вид:

2y² - √3y - 3 = 0.

Шаг 8: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a), где a = 2, b = -√3, c = -3.

Шаг 9: Подставим значения:

• b² - 4ac = (-√3)² - 4 * 2 * (-3) = 3 + 24 = 27.

Шаг 10: Находим корни:

y = (√3 ± √27) / 4.

√27 = 3√3, поэтому:

y1 = (√3 + 3√3) / 4 = (4√3) / 4 = √3.

y2 = (√3 - 3√3) / 4 = (-2√3) / 4 = -√3/2.

Шаг 11: Теперь решим уравнения для sin(x):

• sin(x) = √3 (не имеет решений, так как sin(x) не может превышать 1).
• sin(x) = -√3/2.

Шаг 12: Найдем значения x для sin(x) = -√3/2. Это происходит в третьем и четвертом квадранте:

• x = 7π/6 + 2kπ,
• x = 11π/6 + 2kπ, где k — целое число.

Теперь перейдем к части Б) Найдем все корни уравнения, которые принадлежат промежутку {-3π; -2/3π}.

Шаг 13: Подставим значения k в найденные корни:

• Для k = -2:
• x = 7π/6 - 4π = 7π/6 - 24π/6 = -17π/6 (не в промежутке).
• x = 11π/6 - 4π = 11π/6 - 24π/6 = -13π/6 (не в промежутке).
• Для k = -1:
• x = 7π/6 - 2π = 7π/6 - 12π/6 = -5π/6 (в промежутке).
• x = 11π/6 - 2π = 11π/6 - 12π/6 = -π/6 (не в промежутке).
• Для k = 0:
• x = 7π/6 (не в промежутке).
• x = 11π/6 (не в промежутке).

Шаг 14: Таким образом, единственным корнем уравнения в заданном промежутке {-3π; -2/3π} является:

x = -5π/6.

Ответ: -5π/6.