Как решить уравнение sin(2x)/cos(x + 3П/2) = 1 и найти корни в интервале [-4П; -5П/2]?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрические уравнение sin(2x) cos(x + 3П/2) решение корни интервал [-4П; -5П/2] алгебра 11 класс тригонометрические функции математический анализ уравнения с тригонометрическими функциями Новый

Давай разберемся с уравнением sin(2x)/cos(x + 3П/2) = 1! Это уравнение выглядит довольно интересно, и решить его - это настоящий вызов!

Первым делом, давай преобразуем его. Мы знаем, что cos(x + 3П/2) = -sin(x). Это значит, что мы можем переписать уравнение так:

sin(2x) = -sin(x)

Теперь давай вспомним, что sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) = -sin(x)

Теперь мы можем вынести sin(x) за скобки:

sin(x)(2cos(x) + 1) = 0

Это уравнение равно нулю, если:

• sin(x) = 0
• 2cos(x) + 1 = 0

Теперь решим каждое из этих уравнений!

1. sin(x) = 0: корни этого уравнения находятся в точках:
• x = nП, где n - целое число.
2. 2cos(x) + 1 = 0: это уравнение можно решить так:
• cos(x) = -1/2
• Корни: x = 2П/3 + 2kП и x = 4П/3 + 2kП, где k - целое число.

Теперь давай найдем корни в интервале [-4П; -5П/2]!

Для sin(x) = 0:

• n = -4: x = -4П
• n = -3: x = -3П
• n = -2: x = -2П
• n = -1: x = -П
• n = 0: x = 0 (не подходит)

Для cos(x) = -1/2:

• k = -3: x = 2П/3 - 6П = -16П/3 (не подходит)
• k = -2: x = 2П/3 - 4П = -10П/3 (не подходит)
• k = -1: x = 2П/3 - 2П = -4П/3 (не подходит)
• k = -3: x = 4П/3 - 6П = -14П/3 (не подходит)
• k = -2: x = 4П/3 - 4П = -8П/3 (не подходит)
• k = -1: x = 4П/3 - 2П = -2П/3 (не подходит)

Таким образом, в интервале [-4П; -5П/2] корни нашего уравнения:

• x = -4П
• x = -3П
• x = -2П

Вот и все! Мы нашли корни! Ура! Решение уравнений - это так увлекательно! Если есть еще вопросы, не стесняйся, спрашивай!