Чтобы решить уравнение sin(2x) + sin(x) = 2cos(x) + 1, начнем с преобразования левой части уравнения.

Первым шагом воспользуемся формулой двойного угла для синуса: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Подставим это в уравнение:

• 2sin(x)cos(x) + sin(x) = 2cos(x) + 1.

Теперь можно вынести sin(x) за скобки в левой части:

• sin(x)(2cos(x) + 1) = 2cos(x) + 1.

Теперь у нас есть два множителя: sin(x) и (2cos(x) + 1). Мы можем рассмотреть два случая.

Сначала решим уравнение sin(x) = 0. Это происходит, когда:

• x = nπ, где n – целое число.

Теперь рассмотрим случай, когда 2cos(x) + 1 = 0. Решим это уравнение:

• 2cos(x) = -1
• cos(x) = -1/2.

Значение cos(x) = -1/2 достигается в следующих точках:

• x = 2π/3 + 2kπ, где k – целое число.
• x = 4π/3 + 2kπ, где k – целое число.

Теперь мы соберем все найденные решения:

• x = nπ (из первого случая),
• x = 2π/3 + 2kπ (из второго случая),
• x = 4π/3 + 2kπ (из второго случая).

Таким образом, общее решение уравнения sin(2x) + sin(x) = 2cos(x) + 1 будет выглядеть так:

• x = nπ,
• x = 2π/3 + 2kπ,
• x = 4π/3 + 2kπ,

где n и k – целые числа.