Дана функция f(x) = x^2 - 3x^2 + 4. Найдите:

1. промежутки, на которых функция возрастает и убывает;
2. точки, в которых функция достигает максимума и минимума;
3. наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0; 4].

Алгебра 11 класс Анализ функций функция возрастание убывание максимум минимум наибольшее значение наименьшее значение отрезок алгебра 11 класс Новый

Для начала давайте упростим данную функцию. У нас есть функция:

f(x) = x^2 - 3x^2 + 4

Объединим подобные члены:

f(x) = -2x^2 + 4

Теперь мы можем анализировать эту функцию. Начнем с нахождения производной, чтобы определить промежутки возрастания и убывания.

1. Найдем производную функции:

f'(x) = -4x

2. Найдем критические точки:

Для этого приравняем производную к нулю:

-4x = 0

Отсюда получаем:

x = 0

3. Определим знаки производной:

• Для x < 0: f'(x) > 0 (функция возрастает)
• Для x > 0: f'(x) < 0 (функция убывает)

Таким образом, функция возрастает на промежутке (-∞, 0) и убывает на промежутке (0, +∞).

4. Найдем точки максимума и минимума:

Так как функция возрастает до x = 0 и убывает после, то в точке x = 0 находится максимум.

5. Найдем значение функции в этой точке:

f(0) = -2(0)^2 + 4 = 4

Таким образом, функция достигает максимума в точке (0, 4).

Минимума функция не имеет, так как она убывает до бесконечности.

6. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [0; 4]:

Теперь нужно проверить значения функции на границах отрезка и в критической точке:

• f(0) = 4 (в точке максимума)
• f(4) = -2(4)^2 + 4 = -32 + 4 = -28

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [0; 4] равно 4, а наименьшее значение равно -28.

Итак, подводя итог:

• Функция возрастает на промежутке (-∞, 0)
• Функция убывает на промежутке (0, +∞)
• Максимум в точке (0, 4)
• Минимума нет
• Наибольшее значение на отрезке [0; 4]: 4
• Наименьшее значение на отрезке [0; 4]: -28