Докажите, что для любых значений k справедливо неравенство k^2 - 1 ≤ k (1 + 5k) - 5k.

Алгебра 11 класс Неравенства алгебра 11 класс неравенство доказательство k^2 - 1 k(1 + 5k) - 5k математическая логика свойства неравенств Новый

Для доказательства неравенства k² - 1 ≤ k(1 + 5k) - 5k начнем с упрощения правой части неравенства.

Рассмотрим правую часть: k(1 + 5k) - 5k.

1. Раскроем скобки:
2. k(1 + 5k) = k + 5k².
3. Теперь подставим это в правую часть:
4. k + 5k² - 5k = 5k² - 4k.

Теперь мы можем записать наше неравенство в следующем виде:

k² - 1 ≤ 5k² - 4k.

Переносим все слагаемые в одну сторону:

k² - 1 - 5k² + 4k ≤ 0.

Упрощаем неравенство:

-4k² + 4k - 1 ≤ 0.

Умножим неравенство на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

4k² - 4k + 1 ≥ 0.

Теперь рассмотрим выражение 4k² - 4k + 1. Это квадратный трёхчлен, который можно записать в виде:

(2k - 1)² ≥ 0.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть (2k - 1)² ≥ 0 для любых k.

Следовательно, неравенство 4k² - 4k + 1 ≥ 0 выполняется для любых значений k.

Таким образом, мы доказали, что:

k² - 1 ≤ k(1 + 5k) - 5k для любых значений k.

Ответ: Неравенство k² - 1 ≤ k(1 + 5k) - 5k справедливо для любых значений k.