Докажите, что если a > 0 и b > 0, то выполняется неравенство: sqrt(ab) ≤ 1/2 (a + b).

Алгебра 11 класс Неравенства алгебра 11 класс неравенства доказательство неравенства свойства квадратного корня математический анализ Новый

Ответ:

Мы хотим доказать неравенство: sqrt(ab) ≤ 1/2 (a + b), при условии что a > 0 и b > 0.

Объяснение:

Для начала, мы можем воспользоваться методом, основанным на неравенстве Коши-Буняковского или неравенстве о среднем арифметическом и геометрическом (САГ). Это неравенство утверждает, что среднее арифметическое двух положительных чисел всегда больше или равно их среднему геометрическому.

1. Запишем неравенство Коши-Буняковского для двух положительных чисел a и b:
2. (a + b)² ≥ 4ab.
3. Это неравенство верно, так как квадрат любого числа не отрицателен (a - b)² ≥ 0. Раскроем скобки:
4. a² - 2ab + b² ≥ 0.
5. Прибавим 4ab к обеим частям неравенства:
6. a² + 2ab + b² ≥ 4ab.
7. Теперь заметим, что левая часть является квадратом суммы: (a + b)² ≥ 4ab.

Теперь, чтобы получить искомое неравенство, возьмем корень из обеих сторон:

1. sqrt((a + b)²) ≥ sqrt(4ab).
2. Это дает нам: |a + b| ≥ 2sqrt(ab).

Так как a и b положительные, мы можем опустить модуль:

a + b ≥ 2sqrt(ab).

Теперь делим обе стороны на 2:

(a + b)/2 ≥ sqrt(ab).

Таким образом, мы получаем:

sqrt(ab) ≤ (a + b)/2.

Это и есть то, что мы хотели доказать, но в нашем случае необходимо еще учесть, что мы искали неравенство в виде:

sqrt(ab) ≤ 1/2 (a + b).

Таким образом, мы доказали, что неравенство выполняется для любых положительных a и b.