Как решить неравенство x^2 - 10xy + 26y^2 + 12y + 40 > 0?

Алгебра 11 класс Неравенства неравенство алгебра 11 класс решение x^2 - 10xy + 26y^2 + 12y + 40 математический анализ квадратное неравенство методы решения графический метод анализ знаков корни неравенства система координат Новый

Чтобы решить неравенство x² - 10xy + 26y² + 12y + 40 > 0, начнем с приведения его к более удобному виду.

1. Перепишем неравенство:

• x² - 10xy + 26y² + 12y + 40 > 0

2. Попробуем сгруппировать некоторые члены, чтобы упростить выражение. Для этого выделим полный квадрат. Заметим, что первые три члена можно представить в виде квадрата:

3. Мы можем заметить, что x² - 10xy + 25y² = (x - 5y)². Теперь запишем оставшиеся члены:

• (x - 5y)² + (y² + 12y + 40) > 0

4. Теперь сосредоточимся на выражении y² + 12y + 40. Чтобы упростить его, мы можем также выделить полный квадрат:

• y² + 12y = (y + 6)² - 36.

Подставляем это в наше неравенство:

• (x - 5y)² + ((y + 6)² - 36 + 40) > 0

5. Упрощаем выражение:

• (x - 5y)² + (y + 6)² + 4 > 0.

6. Обратите внимание, что оба слагаемых (x - 5y)² и (y + 6)² всегда неотрицательны, так как это квадраты. Также 4 - положительное число. Следовательно, сумма всегда будет больше нуля:

7. Таким образом, неравенство выполняется для всех значений x и y:

• (x - 5y)² + (y + 6)² + 4 > 0 для всех x и y.

Итак, окончательный ответ: неравенство x² - 10xy + 26y² + 12y + 40 > 0 выполняется для всех значений x и y.