Если ctg(2a) = 0,75 и 0° < a < 90°, как можно найти значения sin(a), cos(a) и tan(a)?

Алгебра 11 класс Тригонометрические функции ctg(2a) = 0,75 значения sin(a) cos(a) tan(a) алгебра 11 класс Тригонометрия Углы решение уравнения Новый

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть значение котангенса угла 2a:

Шаг 1: Найдем значение угла 2a.

Мы знаем, что:

• ctg(2a) = 0,75

Котангенс - это отношение косинуса к синусу:

• ctg(2a) = cos(2a) / sin(2a)

Таким образом, мы можем записать:

• cos(2a) = 0,75 * sin(2a)

Теперь, используя основное тригонометрическое тождество, мы можем выразить sin(2a) и cos(2a):

• sin²(2a) + cos²(2a) = 1

Подставим cos(2a) в это уравнение:

• sin²(2a) + (0,75 * sin(2a))² = 1

Это уравнение можно упростить:

• sin²(2a) + 0,5625 * sin²(2a) = 1
• 1,5625 * sin²(2a) = 1
• sin²(2a) = 1 / 1,5625
• sin²(2a) = 0,64
• sin(2a) = √0,64 = 0,8

Теперь найдем cos(2a):

• cos(2a) = 0,75 * sin(2a) = 0,75 * 0,8 = 0,6

Шаг 2: Найдем sin(a) и cos(a) через sin(2a) и cos(2a).

Используем формулы двойного угла:

• sin(2a) = 2 * sin(a) * cos(a)
• cos(2a) = cos²(a) - sin²(a)

Подставим известные значения:

• 0,8 = 2 * sin(a) * cos(a)
• 0,6 = cos²(a) - sin²(a)

Первое уравнение можно упростить:

• sin(a) * cos(a) = 0,4

Теперь выразим cos(a) через sin(a):

• cos(a) = √(1 - sin²(a))

Подставим это в первое уравнение:

• sin(a) * √(1 - sin²(a)) = 0,4

Теперь квадратим обе стороны:

• sin²(a) * (1 - sin²(a)) = 0,16

Раскроем скобки:

• sin²(a) - sin⁴(a) = 0,16

Перепишем уравнение:

• sin⁴(a) - sin²(a) + 0,16 = 0

Обозначим x = sin²(a). Тогда у нас получится квадратное уравнение:

• x² - x + 0,16 = 0

Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

• D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * 0,16 = 1 - 0,64 = 0,36

Теперь найдем корни:

• x = (1 ± √0,36) / 2
• x₁ = (1 + 0,6) / 2 = 0,8
• x₂ = (1 - 0,6) / 2 = 0,2

Так как x = sin²(a), то:

• sin²(a) = 0,8 или sin²(a) = 0,2

Теперь найдем значения sin(a):

• sin(a) = √0,8 = 0,894 или sin(a) = √0,2 = 0,447

Шаг 3: Найдем cos(a) и tan(a).

Теперь подставим полученные значения sin(a) в формулу для cos(a):

• cos(a) = √(1 - sin²(a))

1. Для sin(a) = 0,894:

• cos(a) = √(1 - 0,8) = √0,2 = 0,447
• tan(a) = sin(a) / cos(a) = 0,894 / 0,447 = 2

2. Для sin(a) = 0,447:

• cos(a) = √(1 - 0,2) = √0,8 = 0,894
• tan(a) = sin(a) / cos(a) = 0,447 / 0,894 = 0,5

Итак, возможные значения:

• Для sin(a) = 0,894: cos(a) = 0,447, tan(a) = 2
• Для sin(a) = 0,447: cos(a) = 0,894, tan(a) = 0,5

Таким образом, мы нашли значения sin(a), cos(a) и tan(a) в зависимости от выбранного значения sin(a).