Используя метод деления «уголком», запишите результат деления многочлена h( x) = 3x³ + kx² - 6x - 16 на двучлен (x - 2). Определите все корни многочлена и разложите его на множители.

Алгебра 11 класс Деление многочленов метод деления уголком деление многочлена корни многочлена разложение на множители алгебра 11 класс Новый

Для начала, давайте разберемся, как использовать метод деления «уголком» для деления многочлена h(x) = 3x³ + kx² - 6x - 16 на двучлен (x - 2).

Шаг 1: Подготовка к делению

• Записываем многочлен h(x) в порядке убывания степеней: 3x³ + kx² - 6x - 16.
• Делим его на (x - 2).

Шаг 2: Деление «уголком»

1. Первый член делимого: 3x³. Делим его на первый член делителя (x): 3x².
2. Умножаем 3x² на (x - 2): 3x² * x - 3x² * 2 = 3x³ - 6x².
3. Вычитаем это произведение из h(x):
• (3x³ + kx² - 6x - 16) - (3x³ - 6x²) = (k + 6)x² - 6x - 16.
4. Теперь берём новый многочлен (k + 6)x² - 6x - 16.
5. Делим (k + 6)x² на x: получаем (k + 6)x.
6. Умножаем (k + 6)x на (x - 2): (k + 6)x * x - (k + 6)x * 2 = (k + 6)x² - 2(k + 6)x.
7. Вычитаем это произведение:
• ((k + 6)x² - 6x - 16) - ((k + 6)x² - 2(k + 6)x) = (-6 + 2(k + 6))x - 16.
8. Упрощаем: (-6 + 2k + 12)x - 16 = (2k + 6)x - 16.
9. Теперь делим (2k + 6)x на x: получаем (2k + 6).
10. Умножаем (2k + 6) на (x - 2): (2k + 6)x - 2(2k + 6) = (2k + 6)x - (4k + 12).
11. Вычитаем это произведение:
• ((2k + 6)x - 16) - ((2k + 6)x - (4k + 12)) = -16 + (4k + 12) = 4k - 4.

Таким образом, результат деления многочлена h(x) = 3x³ + kx² - 6x - 16 на (x - 2) можно записать как:

3x² + (k + 6)x + (2k + 6) + (4k - 4)/(x - 2).

Шаг 3: Определение корней многочлена

Для нахождения корней многочлена h(x) = 3x³ + kx² - 6x - 16, нам нужно решить уравнение h(x) = 0.

Мы уже знаем, что один из корней — это x = 2. Теперь подставим x = 2 в многочлен и найдем значение k:

h(2) = 3(2)³ + k(2)² - 6(2) - 16 = 0.

Это уравнение можно решить для k:

• h(2) = 3(8) + 4k - 12 - 16 = 0.
• 24 + 4k - 28 = 0.
• 4k - 4 = 0.
• k = 1.

Шаг 4: Разложение многочлена на множители

Теперь, когда мы знаем, что k = 1, подставим это значение в многочлен:

h(x) = 3x³ + 1x² - 6x - 16.

Теперь мы можем разложить многочлен h(x) на множители, используя корень x = 2:

h(x) = (x - 2)(3x² + 7x + 8).

Теперь нам нужно найти корни квадратного уравнения 3x² + 7x + 8 = 0. Для этого используем дискриминант:

• D = b² - 4ac = 7² - 4(3)(8) = 49 - 96 = -47.

Так как дискриминант отрицательный, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Итак, итог:

• Корень многочлена: x = 2.
• Многочлен можно разложить на множители как: h(x) = (x - 2)(3x² + 7x + 8).