Похожие вопросы
2024-11-20 17:56:41
Исследовать функцию и построить её график:
- y = -x^3 + 3x - 2
- y = x^3 - 3x + 2
Заранее спасибо!
Алгебра 11 класс Исследование функций и построение графиков алгебра 11 класс исследование функции построение графика y = -x^3 + 3x - 2 y = x^3 - 3x + 2 кубическая функция график функции анализ функции математический анализ свойства функций экстремумы нули функции поведение функции пересечение с осями симметрия графика
2024-11-20 17:56:41
Давайте исследуем функции y = -x^3 + 3x - 2 и y = x^3 - 3x + 2, а затем построим их графики.
Шаг 1: Найдем производную функции для нахождения критических точек.
Для первой функции y = -x^3 + 3x - 2:
- Находим производную: y' = -3x^2 + 3.
- Приравниваем производную к нулю: -3x^2 + 3 = 0.
- Решаем уравнение: 3x^2 = 3, x^2 = 1, x = ±1.
Теперь находим значения функции в критических точках:
- Для x = 1: y(1) = -1^3 + 3*1 - 2 = 0.
- Для x = -1: y(-1) = -(-1)^3 + 3*(-1) - 2 = -4.
Таким образом, критические точки: (1, 0) и (-1, -4).
Шаг 2: Найдем второй производной для определения типа критических точек.
- Находим вторую производную: y'' = -6x.
- Подставляем критические точки.
- Для x = 1: y''(1) = -6*1 = -6 (максимум).
- Для x = -1: y''(-1) = -6*(-1) = 6 (минимум).
Шаг 3: Найдем пределы функции при x стремящемся к бесконечности.
- При x -> ∞, y = -x^3 + 3x - 2 -> -∞.
- При x -> -∞, y = -x^3 + 3x - 2 -> ∞.
Таким образом, функция имеет максимум в точке (1, 0) и минимум в точке (-1, -4).
Шаг 4: Исследуем вторую функцию y = x^3 - 3x + 2 аналогично.
Находим производную:
- y' = 3x^2 - 3.
- Приравниваем к нулю: 3x^2 - 3 = 0, x^2 = 1, x = ±1.
Находим значения функции в критических точках:
- Для x = 1: y(1) = 1 - 3 + 2 = 0.
- Для x = -1: y(-1) = -1 + 3 + 2 = 4.
Критические точки: (1, 0) и (-1, 4).
Теперь находим вторую производную:
- y'' = 6x.
- Для x = 1: y''(1) = 6 (минимум).
- Для x = -1: y''(-1) = -6 (максимум).
Шаг 5: Найдем пределы функции y = x^3 - 3x + 2.
- При x -> ∞, y = x^3 - 3x + 2 -> ∞.
- При x -> -∞, y = x^3 - 3x + 2 -> -∞.
Функция имеет минимум в точке (1, 0) и максимум в точке (-1, 4).
Шаг 6: Построение графиков.
Сначала мы определяем критические точки, а затем в зависимости от их анализа (максимумы и минимумы) строим график. Графики обеих функций будут иметь общую точку (1, 0) и будут вести себя по-разному на бесконечностях:
- График первой функции стремится к -∞ при x -> ∞ и к ∞ при x -> -∞.
- График второй функции стремится к ∞ при x -> ∞ и к -∞ при x -> -∞.
Теперь вы можете построить графики этих функций, используя полученные данные о критических точках, поведении при бесконечностях и значениях функций в критических точках.
