Ура! Давайте вместе проведем исследование функции f(x) = 4x² - 0,5x^4 и построим ее график! Это будет увлекательное путешествие в мир математики!

Поскольку у нас есть многочлен, область определения будет всей числовой прямой:

• x ∈ R

Для исследования поведения функции нам нужно найти ее первую производную:

• f'(x) = 8x - 2x^3

Для этого приравняем первую производную к нулю:

• 8x - 2x^3 = 0
• 2x(4 - x^2) = 0

Таким образом, критические точки:

• x = 0
• x = 2
• x = -2

Теперь нам нужно определить, где функция возрастает, а где убывает:

• На интервале (-∞, -2) функция убывает.
• На интервале (-2, 0) функция возрастает.
• На интервале (0, 2) функция убывает.
• На интервале (2, +∞) функция убывает.

Теперь давайте найдем вторую производную для определения выпуклости:

• f''(x) = 8 - 6x²

Приравняем вторую производную к нулю:

• 8 - 6x² = 0
• x² = 4/3
• x = ±√(4/3) ≈ ±1.15

Таким образом, у нас есть точки инфлексии в x ≈ -1.15 и x ≈ 1.15.

Теперь, когда мы знаем все критические точки и поведение функции, мы можем построить график!

1. Отметим критические точки на оси X.
2. Определим значения функции в этих точках.
3. Соединим точки, учитывая знаки производной и выпуклость.

В результате у нас получится график, который будет демонстрировать все особенности функции: максимумы, минимумы и точки перегиба!

Давайте сделаем это вместе, и наш график будет ярким и запоминающимся! Удачи в исследовании!