Для того чтобы провести исследование функции y = -x^3 + x и построить ее график, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

Функция y = -x^3 + x является многочленом, а значит, она определена для всех значений x. Таким образом, область определения:

• x ∈ R (все действительные числа).

Для исследования функции нам нужно найти ее производную:

• y' = d/dx (-x^3 + x) = -3x^2 + 1.

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

• -3x^2 + 1 = 0
• 3x^2 = 1
• x^2 = 1/3
• x = ±sqrt(1/3) = ±1/sqrt(3).

Теперь исследуем знак производной на интервалах, которые определяются критическими точками:

• Интервалы: (-∞, -1/sqrt(3)), (-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)), (1/sqrt(3), +∞).

Выберем тестовые точки:

• Для x < -1/sqrt(3): например, x = -2 → y' = -3(-2)^2 + 1 = -12 + 1 = -11 (отрицательная).
• Для -1/sqrt(3) < x < 1/sqrt(3): например, x = 0 → y' = -3(0)^2 + 1 = 1 (положительная).
• Для x > 1/sqrt(3): например, x = 2 → y' = -3(2)^2 + 1 = -12 + 1 = -11 (отрицательная).

Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что функция:

• Убывает на интервале (-∞, -1/sqrt(3)) и (1/sqrt(3), +∞).
• Возрастает на интервале (-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)).

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(-1/sqrt(3)) = -(-1/sqrt(3))^3 + (-1/sqrt(3)) = 1/3 - 1/sqrt(3).
• y(1/sqrt(3)) = -(1/sqrt(3))^3 + (1/sqrt(3)) = -1/3 + 1/sqrt(3).

Теперь найдем пределы функции при x → ±∞:

• При x → +∞, y → -∞.
• При x → -∞, y → +∞.

Теперь, имея всю информацию, мы можем построить график функции:

• Критические точки: (-1/sqrt(3), y(-1/sqrt(3))) и (1/sqrt(3), y(1/sqrt(3))).
• Функция возрастает на интервале (-1/sqrt(3), 1/sqrt(3)) и убывает на остальных интервалах.
• Пределы функции показывают, что график стремится к -∞ и +∞ в зависимости от направления.

Собрав все эти данные, вы можете нарисовать график функции, отмечая критические точки и направления убывания и возрастания. Это поможет лучше понять поведение функции y = -x^3 + x.