Как провести исследование функции и построить график для уравнения y=1/5x⁵-1/3x³?

Алгебра 11 класс Исследование функций и построение графиков исследование функции построение графика уравнение y=1/5x⁵-1/3x³ алгебра 11 класс анализ функции Новый

Чтобы провести исследование функции и построить график уравнения y = (1/5)x^5 - (1/3)x^3, следуем следующим шагам:

1. Определение области определения:

   Функция является многочленом, поэтому область определения - это все действительные числа. То есть, x ∈ R.

2. Нахождение производной:

   Для исследования функции найдем первую производную:

   y' = (1/5) * 5x^4 - (1/3) * 3x^2 = x^4 - x^2.

   Теперь упростим производную:

   y' = x^2(x^2 - 1) = x^2(x - 1)(x + 1).

3. Нахождение критических точек:

   Приравняем производную к нулю:

   x^2(x - 1)(x + 1) = 0.

   Критические точки: x = 0, x = 1, x = -1.

4. Исследование знаков производной:

   Определим, на каких интервалах производная положительна, а на каких отрицательна:

   • Для интервала (-∞, -1): y' > 0 (функция возрастает).
   • Для интервала (-1, 0): y' < 0 (функция убывает).
   • Для интервала (0, 1): y' < 0 (функция убывает).
   • Для интервала (1, +∞): y' > 0 (функция возрастает).
5. Нахождение значений функции в критических точках:

   Теперь найдем значения функции в критических точках:

   • y(0) = (1/5)(0)^5 - (1/3)(0)^3 = 0.
   • y(1) = (1/5)(1)^5 - (1/3)(1)^3 = 1/5 - 1/3 = -1/15.
   • y(-1) = (1/5)(-1)^5 - (1/3)(-1)^3 = -1/5 + 1/3 = 2/15.
6. Определение экстремумов:

   Теперь можем определить, где находятся максимумы и минимумы:

   • В точке x = -1: максимум, так как функция возрастает до этой точки и убывает после.
   • В точке x = 0: минимум, так как функция убывает до этой точки и начинает возрастать после.
   • В точке x = 1: минимум, так как функция убывает до этой точки и начинает возрастать после.
7. Нахождение пределов:

   Исследуем поведение функции при x стремящемся к бесконечности:

   • При x → +∞: y → +∞.
   • При x → -∞: y → -∞.
8. Построение графика:

   Теперь, имея все необходимые данные, можно построить график функции:

   • Критические точки: (-1, 2/15), (0, 0), (1, -1/15).
   • Экстремумы: максимум в x = -1, минимумы в x = 0 и x = 1.
   • График будет иметь форму, характерную для многочлена пятой степени, с одним максимумом и двумя минимумами.

Таким образом, мы провели полное исследование функции и можем построить ее график, основываясь на полученных данных.