Как можно проанализировать функцию и построить график y = x / e^(2x)?

Алгебра 11 класс Исследование функций и построение графиков анализ функции построение графика y = x / e^(2x) алгебра 11 класс математический анализ функции и графики Новый

Для анализа функции y = x / e^(2x) и построения ее графика, мы можем следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим их подробно.

Шаг 1: Определение области определения

Функция y = x / e^(2x) определена для всех значений x, так как экспоненциальная функция e^(2x) никогда не равна нулю. Таким образом, область определения функции – все действительные числа:

• x ∈ R

Шаг 2: Нахождение пределов

Теперь найдем предел функции при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности:

• lim (x → +∞) y = lim (x → +∞) (x / e^(2x) = 0, так как экспонента растет быстрее, чем линейная функция.
• lim (x → -∞) y = lim (x → -∞) (x / e^(2x) = 0, так как числитель стремится к -∞, а знаменатель к 0, следовательно, дробь стремится к 0.

Шаг 3: Нахождение производной

Чтобы понять, как ведет себя функция, найдем ее производную:

1. Используем правило деления: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2, где u = x и v = e^(2x).
2. Находим u' = 1 и v' = 2e^(2x).
3. Подставляем в формулу: y' = (1 * e^(2x) - x * 2e^(2x)) / (e^(2x))^2.
4. Упрощаем: y' = (e^(2x) - 2xe^(2x)) / e^(4x) = (1 - 2x) / e^(2x).

Шаг 4: Нахождение критических точек

Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

• 1 - 2x = 0
• 2x = 1
• x = 1/2.

Это значение нужно проверить на знаки производной, чтобы определить, где функция возрастает, а где убывает.

Шаг 5: Анализ знаков производной

Выберем тестовые точки:

• Для x < 1/2 (например, x = 0): y' > 0, значит функция возрастает.
• Для x > 1/2 (например, x = 1): y' < 0, значит функция убывает.

Таким образом, в точке x = 1/2 у нас будет максимум.

Шаг 6: Нахождение значения функции в критической точке

Теперь найдем значение функции в критической точке:

• y(1/2) = (1/2) / e^(1) = 1/(2e).

Шаг 7: Построение графика

Теперь, имея всю информацию, мы можем построить график:

• Функция имеет горизонтальные асимптоты y = 0 при x → ±∞.
• Максимум в точке (1/2, 1/(2e)).

Таким образом, график функции будет представлять собой кривую, которая возрастает до точки (1/2, 1/(2e)), а затем убывает, приближаясь к оси абсцисс.

Теперь вы можете использовать эту информацию для построения графика функции y = x / e^(2x) на координатной плоскости!