Чтобы исследовать функцию f(x) = 4x² - 0,5x⁴ на возрастание, убывание и экстремумы, нам необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции f(x).

Для этого мы применим правило дифференцирования:

• Производная от 4x² равна 8x.
• Производная от -0,5x⁴ равна -2x³.

Таким образом, производная функции:

f'(x) = 8x - 2x³
2. Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Приравняем производную к нулю:

8x - 2x³ = 0

Вынесем общий множитель:

2x(4 - x²) = 0

Теперь решим это уравнение:

• 2x = 0 → x = 0
• 4 - x² = 0 → x² = 4 → x = ±2

Таким образом, критические точки: x = -2, 0, 2.

3. Исследовать знак производной на интервалах.

Разобьем ось x на интервалы по найденным критическим точкам: (-∞, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, +∞).

Теперь выберем тестовые точки в каждом интервале и подставим их в производную:

• Для интервала (-∞, -2): выберем x = -3.
f'(-3) = 8(-3) - 2(-3)³ = -24 + 54 = 30 (положительно)
• Для интервала (-2, 0): выберем x = -1.
f'(-1) = 8(-1) - 2(-1)³ = -8 + 2 = -6 (отрицательно)
• Для интервала (0, 2): выберем x = 1.
f'(1) = 8(1) - 2(1)³ = 8 - 2 = 6 (положительно)
• Для интервала (2, +∞): выберем x = 3.
f'(3) = 8(3) - 2(3)³ = 24 - 54 = -30 (отрицательно)
4. Сделать выводы о возрастании и убывании функции.

На основании знаков производной можем сделать следующие выводы:

• f(x) возрастает на интервале (-∞, -2).
• f(x) убывает на интервале (-2, 0).
• f(x) возрастает на интервале (0, 2).
• f(x) убывает на интервале (2, +∞).
5. Определить экстремумы функции.

Теперь мы можем определить, какие из критических точек являются максимумами, а какие - минимумами:

• В точке x = -2: функция меняет знак производной с положительного на отрицательный, значит это максимум.
• В точке x = 0: функция меняет знак производной с отрицательного на положительный, значит это минимум.
• В точке x = 2: функция меняет знак производной с положительного на отрицательный, значит это максимум.

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) = 4x² - 0,5x⁴ на возрастание и убывание, а также нашли экстремумы:

• Максимум в точке x = -2.
• Минимум в точке x = 0.
• Максимум в точке x = 2.