Как можно быстрее найти экстремум функции y=1/3x^3-2x^2?

Алгебра 11 класс Экстремумы функций экстремум функции нахождение экстремума алгебра 11 класс производная функции оптимизация функции Новый

Для нахождения экстремума функции y = (1/3)x^3 - 2x^2, нам нужно следовать нескольким шагам. Экстремумы функции находятся в точках, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте рассмотрим этот процесс подробнее.

1. Найдем производную функции. Для этого мы применим правила дифференцирования:
• Производная от (1/3)x^3 равна (1/3) * 3x^(3-1) = x^2.
• Производная от -2x^2 равна -2 * 2x^(2-1) = -4x.

Таким образом, производная функции будет:

y' = x^2 - 4x.

2. Приравняем производную к нулю. Для нахождения критических точек решим уравнение:

x^2 - 4x = 0.

3. Факторизуем уравнение. Мы можем вынести общий множитель:

x(x - 4) = 0.

4. Найдем корни уравнения. У нас есть два возможных значения:
• x = 0,
• x = 4.
5. Определим, является ли каждая из найденных точек экстремумами. Для этого можно использовать второй производный тест или просто исследовать знак первой производной:
• Подставим значения x в производную y' и проверим знак:
• Для x < 0 (например, x = -1): y'(-1) = (-1)^2 - 4(-1) = 1 + 4 = 5 (положительное),
• Для 0 < x < 4 (например, x = 2): y'(2) = (2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4 (отрицательное),
• Для x > 4 (например, x = 5): y'(5) = (5)^2 - 4(5) = 25 - 20 = 5 (положительное).

Таким образом, мы видим, что:

• На интервале (-∞, 0) функция возрастает,
• На интервале (0, 4) функция убывает,
• На интервале (4, ∞) функция возрастает.

Это означает, что в точке x = 0 у нас есть максимум, а в точке x = 4 - минимум.

6. Найдем значения функции в этих точках. Подставим найденные значения x в исходную функцию:
• y(0) = (1/3)(0)^3 - 2(0)^2 = 0,
• y(4) = (1/3)(4)^3 - 2(4)^2 = (1/3)(64) - 32 = 21.33 - 32 = -10.67.

В итоге, мы нашли, что функция имеет максимум в точке (0, 0) и минимум в точке (4, -10.67).