Как можно быстро найти производную функции y=sin(x^cos(x))?

Алгебра 11 класс Производная функции производная функции y=sin(x^cos(x)) быстро найти производную алгебра 11 класс методы нахождения производной Новый

Чтобы найти производную функции y = sin(x^cos(x)), нам нужно использовать правила дифференцирования, такие как правило цепочки и производные сложных функций. Давайте разберем процесс шаг за шагом:

1. Определим внешнюю и внутреннюю функции:
   • Внешняя функция: y = sin(u), где u = x^cos(x).
   • Внутренняя функция: u = x^cos(x).
2. Найдем производную внешней функции:
   • Производная sin(u) по u равна cos(u).
3. Теперь найдем производную внутренней функции u = x^cos(x):
   • Для этого используем логарифмическое дифференцирование. Сначала возьмем натуральный логарифм обеих сторон:
   • ln(u) = ln(x^cos(x)) = cos(x) * ln(x).
   • Теперь продифференцируем обе стороны:
   • 1/u * (du/dx) = (d/dx)(cos(x) * ln(x)).
   • Используем правило произведения для правой части:
   • (d/dx)(cos(x) * ln(x)) = cos(x) * (1/x) - sin(x) * ln(x).
   • Таким образом, получаем: 1/u * (du/dx) = cos(x)/x - sin(x) * ln(x).
   • Теперь выразим du/dx:
   • du/dx = u * (cos(x)/x - sin(x) * ln(x)).
   • Подставляем обратно u = x^cos(x):
   • du/dx = x^cos(x) * (cos(x)/x - sin(x) * ln(x)).
4. Теперь можем найти полную производную y:
   • dy/dx = cos(u) * du/dx.
   • Подставляем значения:
   • dy/dx = cos(x^cos(x)) * (x^cos(x) * (cos(x)/x - sin(x) * ln(x))).

Итак, окончательная форма производной функции y = sin(x^cos(x)) будет:

dy/dx = cos(x^cos(x)) * (x^cos(x) * (cos(x)/x - sin(x) * ln(x))).

Таким образом, мы успешно нашли производную данной функции, используя правила дифференцирования и логарифмическое дифференцирование для сложной внутренней функции.