Как можно доказать, что для трех положительных чисел a, b, c, при условии, что abc=1, справедливо неравенство: (1+a)(1+b)(1+c)≥8?

Алгебра 11 класс Неравенства доказательство неравенства алгебра три положительных числа abc=1 неравенство для чисел Новый

Чтобы доказать неравенство (1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8 при условии, что abc = 1 и a, b, c – положительные числа, мы можем использовать метод неравенства AM-GM (арифметического и геометрического среднего).

Шаги решения:

1. Применение неравенства AM-GM: По неравенству AM-GM для трех положительных чисел a, b, c, мы имеем:
• (a + 1 + 1)/3 ≥ (abc)^(1/3) = (1)^(1/3) = 1
• Следовательно, a + 1 ≥ 3 * (abc)^(1/3) - 2 = 3 - 2 = 1.
• Аналогично, для b и c получаем:
• b + 1 ≥ 3 - 2 = 1,
• c + 1 ≥ 3 - 2 = 1.
• Таким образом, мы можем записать:
• (1 + a)(1 + b)(1 + c) ≥ (3√(abc))(3√(abc))(3√(abc)) = (3) * (3) * (3) = 27.
• Однако, нам нужно 8, а не 27. Мы можем использовать более простую форму неравенства.
2. Переписывание выражения: Мы можем переписать неравенство следующим образом:
• (1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc.
• Так как abc = 1, то это выражение становится:
• 1 + a + b + c + ab + ac + bc + 1 = a + b + c + ab + ac + bc + 2.
• Теперь нам нужно показать, что a + b + c + ab + ac + bc ≥ 6.
3. Применение неравенства AM-GM снова: Теперь применим AM-GM к числам a, b, c:
• (a + b + c)/3 ≥ (abc)^(1/3) = 1.
• Следовательно, a + b + c ≥ 3.
4. Применение AM-GM к произведениям: Теперь применим AM-GM к произведениям ab, ac, bc:
• (ab + ac + bc)/3 ≥ (abc)^(2/3) = 1.
• Следовательно, ab + ac + bc ≥ 3.
5. Сложение результатов: Теперь, складывая результаты:
• a + b + c + ab + ac + bc ≥ 3 + 3 = 6.
6. Подстановка в неравенство: Таким образом, подставляя в наше неравенство:
• (1 + a)(1 + b)(1 + c) = a + b + c + ab + ac + bc + 2 ≥ 6 + 2 = 8.

Таким образом, мы доказали, что для трех положительных чисел a, b, c, при условии, что abc = 1, справедливо неравенство (1+a)(1+b)(1+c) ≥ 8.