Как можно доказать, что геометрическая прогрессия, представленная числами 1/3, 1/9, 1/27 и так далее, является бесконечно убывающей?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия доказательство бесконечно убывающая 11 класс алгебра числа 1/3 1/9 1/27 свойства прогрессии предел убывание последовательность анализ математическое доказательство Новый

Чтобы доказать, что геометрическая прогрессия, представленная числами 1/3, 1/9, 1/27 и так далее, является бесконечно убывающей, давайте сначала вспомним, что такое геометрическая прогрессия и как она определяется.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии.

В нашем случае первые три члена прогрессии:

• Первый член (a1) = 1/3
• Второй член (a2) = 1/9
• Третий член (a3) = 1/27

Теперь найдем знаменатель прогрессии:

• Знаменатель (q) = a2 / a1 = (1/9) / (1/3) = 1/3
• Знаменатель (q) = a3 / a2 = (1/27) / (1/9) = 1/3

Таким образом, мы видим, что знаменатель прогрессии равен 1/3.

Теперь давайте рассмотрим, что значит "бесконечно убывающая" прогрессия. Это значит, что каждый следующий член прогрессии меньше предыдущего, и при этом члены прогрессии стремятся к нулю, но никогда его не достигают.

Для этого нам нужно показать, что:

• Все члены прогрессии положительные.
• Каждый следующий член меньше предыдущего.

1. Положительность членов:

Поскольку все члены прогрессии являются дробями с положительными числителями и знаменателями, они все положительные.

2. Сравнение членов:

Поскольку знаменатель прогрессии (1/3) меньше 1, то каждый следующий член будет меньше предыдущего:

• a2 = a1 * q = (1/3) * (1/3) = 1/9 < a1 = 1/3
• a3 = a2 * q = (1/9) * (1/3) = 1/27 < a2 = 1/9

Таким образом, мы видим, что:

• a1 > a2 > a3
• и так далее для всех последующих членов.

Кроме того, если мы будем продолжать этот процесс, то каждый следующий член будет равен:

a_n = (1/3) * (1/3)^(n-1) = (1/3^n), где n - номер члена прогрессии.

С учетом этого, можно заметить, что:

• При n стремящемся к бесконечности, 1/3^n стремится к 0.

Таким образом, мы можем заключить, что данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, так как все ее члены положительные, каждый следующий член меньше предыдущего, и они стремятся к нулю.