Как можно определить члены B1, B2 и B3 геометрической прогрессии, если разница между первым и третьим членами составляет 5, а разница между пятым и третьим членами равна 45?

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия члены прогрессии разница между членами b1 b2 b3 алгебра 11 класс задача по алгебре Новый

Для решения данной задачи начнем с определения членов геометрической прогрессии. Пусть:

• B1 - первый член прогрессии,
• B2 - второй член прогрессии,
• B3 - третий член прогрессии.

В геометрической прогрессии каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии (обозначим его q). Таким образом, можем выразить члены прогрессии через первый член:

• B1 = a,
• B2 = a * q,
• B3 = a * q^2,
• B4 = a * q^3,
• B5 = a * q^4.

Теперь запишем условия задачи:

1. Разница между первым и третьим членами составляет 5:
B3 - B1 = 5. Подставим значения: a * q^2 - a = 5. Это можно упростить до: a(q^2 - 1) = 5. (1)
2. Разница между пятым и третьим членами равна 45:
B5 - B3 = 45. Подставим значения: a * q^4 - a * q^2 = 45. Это можно упростить до: a(q^4 - q^2) = 45. (2)

Теперь у нас есть две уравнения (1) и (2). Мы можем выразить a из первого уравнения:

a = 5 / (q^2 - 1).

Подставим это значение во второе уравнение:

(5 / (q^2 - 1))(q^4 - q^2) = 45.

Упростим это уравнение:

5(q^4 - q^2) = 45(q^2 - 1).

Теперь разделим обе стороны на 5:

q^4 - q^2 = 9(q^2 - 1).

Раскроем скобки:

q^4 - q^2 = 9q^2 - 9.

Приведем все к одной стороне:

q^4 - 10q^2 + 9 = 0.

Теперь сделаем замену переменной: x = q^2. Тогда уравнение принимает вид:

x^2 - 10x + 9 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 1 9 = 100 - 36 = 64.

Теперь найдем корни уравнения:

x1,2 = (10 ± sqrt(64)) / 2 = (10 ± 8) / 2.

Это дает два корня:

• x1 = 9,
• x2 = 1.

Теперь вернемся к переменной q:

• Если x1 = 9, то q^2 = 9, следовательно q = 3 или q = -3 (но мы возьмем положительное значение для геометрической прогрессии).
• Если x2 = 1, то q^2 = 1, следовательно q = 1.

Теперь подставим значение q обратно в уравнение для a:

• Для q = 3: a = 5 / (3^2 - 1) = 5 / 8.
• Для q = 1: a = 5 / (1 - 1) (это не подходит, так как деление на ноль).

Таким образом, мы имеем:

• B1 = a = 5/8,
• B2 = a * q = (5/8) * 3 = 15/8,
• B3 = a * q^2 = (5/8) * 9 = 45/8.

Таким образом, члены прогрессии:

• B1 = 5/8,
• B2 = 15/8,
• B3 = 45/8.