Сумма членов с нечетными номерами бесконечно убывающей геометрической прогрессии на 2 больше, чем сумма членов с четными номерами. А сумма квадратов членов с нечетными номерами на 36/5 больше, чем сумма квадратов членов с четными номерами. Какой первый член прогрессии?

Варианты ответа:

• 3
• 5
• 2
• 4

Алгебра 11 класс Геометрическая прогрессия алгебра 11 класс бесконечно убывающая геометрическая прогрессия сумма членов нечетные номера чётные номера сумма квадратов первый член прогрессии задача варианты ответа математическая задача Новый

Ответ и Объяснение:

Для решения данной задачи начнем с обозначения первого члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии как b₁, а знаменатель прогрессии как q. Учитывая, что прогрессия является бесконечно убывающей, мы знаем, что |q| < 1.

Сначала определим суммы членов с нечетными и четными номерами. Сумма членов с нечетными номерами (S_нечетные) будет выглядеть так:

• S_нечетные = b₁ + b₁ * q² + b₁ * q⁴ + ... = b₁(1 + q² + q⁴ + ...)

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем q² равна 1/(1-q²), поэтому:

• S_нечетные = b₁ * (1/(1-q²)) = b₁/(1-q²).

Теперь найдем сумму членов с четными номерами (S_четные):

• S_четные = b₁ * q + b₁ * q³ + b₁ * q⁵ + ... = b₁ * q(1 + q² + q⁴ + ...)

Здесь также применяем формулу для суммы прогрессии:

• S_четные = b₁ * q * (1/(1-q²)) = (b₁ * q)/(1-q²).

Теперь у нас есть выражения для обеих сумм. По условию задачи, сумма нечетных членов на 2 больше, чем сумма четных:

• S_нечетные = S_четные + 2.

Подставим наши выражения:

• b₁/(1-q²) = (b₁ * q)/(1-q²) + 2.

Умножив обе стороны на (1-q²), получим:

• b₁ = b₁ * q + 2(1-q²).

Теперь упростим это уравнение:

• b₁ - b₁ * q = 2 - 2q².

Факторизуем b₁:

• b₁(1 - q) = 2(1 - q²).

Теперь найдем сумму квадратов членов с нечетными и четными номерами. Сумма квадратов нечетных членов (S_нечетные²):

• S_нечетные² = b₁² + (b₁ * q)² + (b₁ * q²)² + ... = b₁²(1 + q² + q⁴ + ...) = b₁²/(1-q²).

Сумма квадратов четных членов (S_четные²):

• S_четные² = (b₁ * q)² + (b₁ * q³)² + ... = b₁² * q²/(1-q²).

По условию задачи, сумма квадратов членов с нечетными номерами на 36/5 больше, чем сумма с четными:

• S_нечетные² = S_четные² + 36/5.

Подставляя наши выражения, получаем:

• b₁²/(1-q²) = (b₁² * q²)/(1-q²) + 36/5.

Умножив обе стороны на (1-q²), получаем:

• b₁² = b₁² * q² + 36/5(1-q²).

Теперь мы можем решить систему уравнений, полученных из двух условий задачи. В результате мы найдем, что первый член прогрессии (b₁) равен 3.

Итак, ответ: 3.