Чтобы доказать равносильность неравенств 5sin^2x - 3sinxcosx - 2cos^2x > 0 и 5tg^2x - 3tgx - 2 > 0, начнем с преобразования первого неравенства.

Вспомним, что тангенс можно выразить через синус и косинус: tgx = sinx/cosx. Таким образом, мы можем заменить sinx и cosx в первом неравенстве:

• sin^2x = tg^2x * cos^2x
• sinx = tgx * cosx

Подставим эти выражения в неравенство:

5(tg^2x * cos^2x) - 3(tgx * cosx)(cosx) - 2cos^2x > 0

Упрощаем это неравенство:

5tg^2x * cos^2x - 3tgx * cos^2x - 2cos^2x > 0

Вынесем cos^2x за скобки:

cos^2x(5tg^2x - 3tgx - 2) > 0

Так как cos^2x всегда неотрицательно, неравенство будет выполняться, если:

5tg^2x - 3tgx - 2 > 0

Таким образом, мы доказали, что оба неравенства равносильны.

Теперь, чтобы решить неравенство 5tg^2x - 3tgx - 2 > 0, воспользуемся стандартным методом решения квадратного неравенства.

Решим уравнение 5tg^2x - 3tgx - 2 = 0 с помощью дискриминанта:

• a = 5, b = -3, c = -2
• D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 5 * (-2) = 9 + 40 = 49

Теперь найдем корни:

• tgx1 = (3 + sqrt(49)) / (2 * 5) = (3 + 7) / 10 = 1
• tgx2 = (3 - sqrt(49)) / (2 * 5) = (3 - 7) / 10 = -0.4

Теперь разложим неравенство на интервалы:

• tgx < -0.4
• -0.4 < tgx < 1
• tgx > 1

Проверим знаки в каждом интервале:

• Для tgx < -0.4: положительное значение.
• Для -0.4 < tgx < 1: отрицательное значение.
• Для tgx > 1: положительное значение.

Таким образом, неравенство выполняется при:

tgx < -0.4 или tgx > 1.

Теперь мы можем записать ответ в виде интервалов:

x ∈ (-∞, arctg(-0.4)) ∪ (arctg(1) + kπ, +∞), где k - целое число.

Это и есть решение неравенства 5sin^2x - 3sinxcosx - 2cos^2x > 0.