Как можно исследовать функцию и построить график y=x^3-3x+5?

Алгебра 11 класс Исследование функций и построение графиков исследование функции построение графика алгебра 11 класс y=x^3-3x+5 анализ полинома графики функций математический анализ Новый

Чтобы исследовать функцию y = x^3 - 3x + 5 и построить ее график, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Определение области определения функции

Функция y = x^3 - 3x + 5 является многочленом, и область определения всех многочленов - это множество всех действительных чисел. Таким образом, область определения функции:

• x ∈ R

2. Нахождение производной

Для исследования функции нам нужно найти ее производную, чтобы определить критические точки, где функция может иметь максимумы или минимумы.

1. Находим производную:
2. y' = 3x^2 - 3

3. Нахождение критических точек

Критические точки находятся, когда производная равна нулю:

1. 3x^2 - 3 = 0
2. x^2 = 1
3. x = ±1

4. Определение знака производной

Теперь определим, где функция возрастает или убывает, исследуя знак производной:

• Для x < -1: y' > 0 (функция возрастает)
• Для -1 < x < 1: y' < 0 (функция убывает)
• Для x > 1: y' > 0 (функция возрастает)

5. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

1. y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 5 = -1 + 3 + 5 = 7
2. y(1) = (1)^3 - 3(1) + 5 = 1 - 3 + 5 = 3

6. Определение типа критических точек

Теперь мы можем определить, являются ли эти точки максимумами или минимумами, используя второй производной тест:

1. Найдем вторую производную: y'' = 6x
2. y''(-1) = 6(-1) = -6 (максимум)
3. y''(1) = 6(1) = 6 (минимум)

7. Построение графика

Теперь, когда мы знаем, что:

• Функция имеет максимум в точке (-1, 7)
• Функция имеет минимум в точке (1, 3)

Также стоит отметить, что при x → ±∞, y → ±∞, что говорит о том, что график функции уходит вверх на концах.

Теперь можно построить график функции, используя полученные данные. На графике будет видно, что функция возрастает до точки (-1, 7), затем убывает до точки (1, 3) и снова возрастает.

8. Дополнительные точки

Для более точного построения графика можно вычислить значения функции для нескольких дополнительных точек, например:

• y(0) = 5
• y(-2) = -1
• y(2) = 3

Собрав все эти данные, вы сможете построить точный график функции y = x^3 - 3x + 5.