Как можно исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба кривую y = x^3 - 3x?

Алгебра 11 класс Анализ функций выпуклость кривой вогнутость кривой точки перегиба исследование функции алгебра 11 класс производная функции график функции анализ кривой Новый

Для исследования кривой y = x^3 - 3x на выпуклость, вогнутость и точки перегиба, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную:

Первая производная функции даст нам информацию о наклоне касательной к графику функции. Вычисляем первую производную:

y' = 3x^2 - 3.

2. Найти критические точки:

Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю:

3x^2 - 3 = 0.

Решаем это уравнение:

• 3x^2 = 3
• x^2 = 1
• x = ±1.
3. Найти вторую производную:

Вторая производная поможет нам определить выпуклость и вогнутость функции:

y'' = 6x.

4. Найти точки перегиба:

Точки перегиба находятся там, где вторая производная равна нулю:

6x = 0.

Решаем это уравнение:

• x = 0.
5. Исследовать знак второй производной:

Теперь исследуем знак второй производной на интервалах, которые определяются найденной точкой перегиба (x = 0):

• Для x < 0: y'' < 0 (функция вогнута).
• Для x > 0: y'' > 0 (функция выпукла).
6. Сделать выводы:

Таким образом, мы можем сделать следующие выводы:

• Кривая y = x^3 - 3x имеет точку перегиба в точке (0, 0).
• Функция вогнута на интервале (-∞, 0).
• Функция выпукла на интервале (0, +∞).

Эти шаги помогут вам исследовать кривую на выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!