Как можно найти абсциссу точки касания, если прямая y=3x+11 касается графика функции y=x^3 - 3x^2 - 6x + 6?

Алгебра 11 класс Касательные к графикам функций абсцисса точки касания прямая y=3x+11 график функции y=x^3 - 3x^2 - 6x + 6 алгебра 11 класс Новый

Чтобы найти абсциссу точки касания прямой y = 3x + 11 с графиком функции y = x^3 - 3x^2 - 6x + 6, необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найти производную функции

Сначала найдем производную функции y = x^3 - 3x^2 - 6x + 6, так как она даст нам наклон касательной в любой точке графика.

Производная функции:

• y' = 3x^2 - 6x - 6.

Шаг 2: Установить равенство наклонов

Наклон касательной (производная функции) в точке касания должен совпадать с наклоном данной прямой. Наклон прямой y = 3x + 11 равен 3. Поэтому мы можем записать уравнение:

• 3x^2 - 6x - 6 = 3.

Шаг 3: Упростить уравнение

Теперь упростим уравнение:

• 3x^2 - 6x - 6 - 3 = 0,
• 3x^2 - 6x - 9 = 0.

Делим все уравнение на 3:

• x^2 - 2x - 3 = 0.

Шаг 4: Найти корни уравнения

Теперь решим квадратное уравнение x^2 - 2x - 3 = 0. Используем формулу корней квадратного уравнения:

• x = (b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -2, c = -3.

Подставляем значения:

• x = (2 ± √((-2)^2 - 4 * 1 * (-3))) / (2 * 1),
• x = (2 ± √(4 + 12)) / 2,
• x = (2 ± √16) / 2,
• x = (2 ± 4) / 2.

Корни:

• x1 = (2 + 4) / 2 = 3,
• x2 = (2 - 4) / 2 = -1.

Шаг 5: Проверить, какой из корней подходит

Теперь нам нужно проверить, какая из найденных абсцисс (x1 = 3 или x2 = -1) соответствует точке касания. Для этого подставим найденные значения x в уравнение функции и уравнение прямой, чтобы убедиться, что они равны.

• Для x = 3:
• y = 3^3 - 3 * 3^2 - 6 * 3 + 6 = 27 - 27 - 18 + 6 = -12.
• y = 3 * 3 + 11 = 9 + 11 = 20 (не совпадает).
• Для x = -1:
• y = (-1)^3 - 3 * (-1)^2 - 6 * (-1) + 6 = -1 - 3 + 6 + 6 = 8.
• y = 3 * (-1) + 11 = -3 + 11 = 8 (совпадает).

Ответ:

Таким образом, абсцисса точки касания равна -1.