Чтобы найти многочлен Р, нам нужно выполнить деление многочлена a^6 - 25a^3 - 54 на произведение (a^3 + 2)(a - 3).

Шаги решения следующие:

1. Вычислим произведение (a^3 + 2)(a - 3):
• Распишем это произведение:
• (a^3 + 2)(a - 3) = a^3 * a + a^3 * (-3) + 2 * a + 2 * (-3)
• Это даст нам: a^4 - 3a^3 + 2a - 6.
2. Теперь выполним деление многочлена a^6 - 25a^3 - 54 на a^4 - 3a^3 + 2a - 6:
• Запишем деление в столбик или используем метод деления многочленов.
• Первый член делимого (a^6) делим на первый член делителя (a^4), получаем a^2.
• Умножаем a^2 на весь делитель: a^2 * (a^4 - 3a^3 + 2a - 6) = a^6 - 3a^5 + 2a^3 - 6a^2.
• Вычитаем полученное выражение из a^6 - 25a^3 - 54:
• (a^6 - 25a^3 - 54) - (a^6 - 3a^5 + 2a^3 - 6a^2) = 3a^5 - 27a^3 + 6a^2 - 54.
3. Теперь продолжаем деление:
• Делим 3a^5 на a^4, получаем 3a.
• Умножаем 3a на делитель и вычитаем:
• 3a * (a^4 - 3a^3 + 2a - 6) = 3a^5 - 9a^4 + 6a^2 - 18a.
• Вычитаем: (3a^5 - 27a^3 + 6a^2 - 54) - (3a^5 - 9a^4 + 6a^2 - 18a) = 9a^4 - 21a^3 + 18a - 54.
4. Продолжаем деление:
• Делим 9a^4 на a^4, получаем 9.
• Умножаем 9 на делитель и вычитаем:
• 9 * (a^4 - 3a^3 + 2a - 6) = 9a^4 - 27a^3 + 18a - 54.
• Вычитаем: (9a^4 - 21a^3 + 18a - 54) - (9a^4 - 27a^3 + 18a - 54) = 6a^3.
5. Теперь мы можем записать результат деления:
• Многочлен a^6 - 25a^3 - 54 можно представить как (a^3 + 2)(a - 3)(a^2 + 3a + 9) + 6a^3.
• Следовательно, многочлен Р равен (a^2 + 3a + 9).

Таким образом, многочлен Р равен a^2 + 3a + 9.