Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=-x²+2 и y=-x, сначала нужно выполнить несколько шагов, включая построение графиков этих функций и нахождение точек их пересечения. Давайте разберем процесс по шагам.

Для начала мы нарисуем графики обеих функций.

• Функция y=-x²+2 — это парабола, открытая вниз, с вершиной в точке (0, 2). Она пересекает ось y в точке (0, 2) и ось x в точках, которые можно найти, решив уравнение -x² + 2 = 0.
• Функция y=-x — это прямая, которая проходит через начало координат и имеет угловой коэффициент -1. Она пересекает ось y в точке (0, 0) и ось x в точке (0, 0).

Чтобы найти точки пересечения кривых, приравняем их:

-x² + 2 = -x

Переносим все в одну сторону:

x² - x + 2 = 0

Решим это квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-1)² - 4*1*2 = 1 - 8 = -7

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет действительных решений. Это означает, что графики не пересекаются.

Теперь мы можем определить, какая кривая выше, а какая ниже. Для этого подставим любое значение x (например, x=0) в обе функции:

• y=-0²+2 = 2 (для первой функции)
• y=-0 = 0 (для второй функции)

Таким образом, при x=0, кривая y=-x²+2 выше прямой y=-x.

Площадь фигуры, ограниченной этими кривыми, можно найти интегрированием разности функций от одной из границ до другой. Однако, поскольку мы уже выяснили, что функции не пересекаются, мы можем рассмотреть область, где одна функция всегда выше другой.

Теперь необходимо определить границы интегрирования. Мы можем взять, например, x от -√2 до √2, так как это область, в которой y=-x²+2 положительна.

Площадь S будет равна:

S = ∫[от -√2 до √2] (-(x) - (-x² + 2)) dx

Теперь вычисляем интеграл:

S = ∫[от -√2 до √2] (x² - x + 2) dx

После нахождения интеграла и подстановки границ, вы получите площадь фигуры.

Таким образом, мы нашли площадь фигуры, ограниченной кривыми y=-x²+2 и y=-x. Этот процесс включает в себя построение графиков, нахождение точек пересечения и вычисление площади с помощью интегралов.