Как можно определить площадь области, заключенной между графиками функций y=x^2-4x+4 и y=4-x? Обязательно нужен график.

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области графики функций y=x^2-4x+4 y=4-x алгебра 11 класс определение площади интегралы пересечение графиков область между графиками решение задачи по алгебре Новый

Чтобы определить площадь области, заключенной между графиками функций y = x² - 4x + 4 и y = 4 - x, следуем следующим шагам:

1. Найдем точки пересечения графиков.

Для этого приравняем функции друг к другу:

x² - 4x + 4 = 4 - x

Упрощаем уравнение:

• x² - 4x + x + 4 - 4 = 0
• x² - 3x = 0
• x(x - 3) = 0

Таким образом, точки пересечения находятся в x = 0 и x = 3.

2. Найдем значение функций в этих точках.

• Для x = 0: y = 0² - 4*0 + 4 = 4.
• Для x = 3: y = 3² - 4*3 + 4 = 1.

Таким образом, точки пересечения: (0, 4) и (3, 1).

3. Определим, какая функция выше.

Рассмотрим значения функций в промежутке от 0 до 3:

• Для x = 1: y = 1² - 4*1 + 4 = 1, y = 4 - 1 = 3 (верхняя функция - 4 - x).
• Для x = 2: y = 2² - 4*2 + 4 = 0, y = 4 - 2 = 2 (верхняя функция - 4 - x).

Таким образом, на промежутке [0, 3] функция y = 4 - x находится выше функции y = x² - 4x + 4.

4. Найдем площадь между графиками.

Площадь S можно вычислить по формуле:

S = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx, где a и b - точки пересечения.

В нашем случае:

S = ∫[0, 3] ((4 - x) - (x² - 4x + 4)) dx

Упрощаем выражение под интегралом:

S = ∫[0, 3] (4 - x - x² + 4x - 4) dx = ∫[0, 3] (-x² + 3x) dx.

5. Вычислим интеграл:

Теперь найдем интеграл от -x² + 3x:

• ∫(-x² + 3x) dx = -x³/3 + (3/2)x² + C.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 3:

S = [-x³/3 + (3/2)x²] | от 0 до 3.

Подставляем x = 3:

• -3³/3 + (3/2)*3² = -27/3 + (3/2)*9 = -9 + 13.5 = 4.5.

Подставляем x = 0:

• -0³/3 + (3/2)*0² = 0.

Таким образом, площадь S = 4.5 - 0 = 4.5.

6. График функций.

Для визуализации вы можете построить график функций y = x² - 4x + 4 и y = 4 - x на интервале от 0 до 3. Точки пересечения будут (0, 4) и (3, 1). Область между графиками будет находиться ниже линии y = 4 - x и выше параболы y = x² - 4x + 4.

Таким образом, площадь области, заключенной между графиками, равна 4.5.