Как можно найти площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+2x и прямой y=x+2?

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь фигуры парабола прямая y=x^2+2x y=x+2 11 класс алгебра нахождение площади ограниченная фигура интегралы графики функций математический анализ Новый

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y=x^2+2x и прямой y=x+2, необходимо выполнить несколько шагов. Рассмотрим их более подробно.

1. Нахождение точек пересечения кривых:

   Сначала необходимо найти точки пересечения параболы и прямой. Для этого приравняем уравнения:

   x^2 + 2x = x + 2

   Упростим уравнение:

   x^2 + 2x - x - 2 = 0

   x^2 + x - 2 = 0

   Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9

   Корни уравнения:

   x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + 3) / 2 = 1

   x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - 3) / 2 = -2

   Таким образом, точки пересечения находятся в x = 1 и x = -2.

2. Определение функции, описывающей фигуру:

   Теперь необходимо определить, какая из кривых находится выше другой на отрезке между найденными точками пересечения. Для этого можно подставить любое значение x из интервала (-2, 1) в уравнения:

   • Для x = 0:
     • y параболы: y = 0^2 + 2*0 = 0
     • y прямой: y = 0 + 2 = 2

     Таким образом, прямая выше параболы на данном интервале.

3. Вычисление площади:

   Для нахождения площади фигуры, ограниченной этими кривыми, используем интеграл:

   Площадь S = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

   Где a = -2, b = 1, верхняя функция - прямая y = x + 2, нижняя функция - парабола y = x^2 + 2x.

   Таким образом, площадь можно выразить как:

   S = ∫[-2, 1] ((x + 2) - (x^2 + 2x)) dx

   Упростим подынтегральное выражение:

   S = ∫[-2, 1] (-x^2 - x + 2) dx

   Теперь вычислим интеграл:

   S = [-x^3/3 - x^2/2 + 2x] от -2 до 1

   Подставляем границы интегрирования:

   Находим значение при x = 1:

   -(1^3)/3 - (1^2)/2 + 2*1 = -1/3 - 1/2 + 2 = -1/3 - 3/6 + 12/6 = 8/6 - 3/6 = 5/6

   Находим значение при x = -2:

   -(-2^3)/3 - (-2^2)/2 + 2*(-2) = 8/3 - 2 - 4 = 8/3 - 6/3 = 2/3

   Теперь вычтем:

   S = (5/6) - (2/3) = (5/6) - (4/6) = 1/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой y=x^2+2x и прямой y=x+2, равна 1/6.