Как вычислить площадь области, заключенной между параболой y=x^2-3x=4 и прямой y=4-x?

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь области парабола прямая y=x^2-3x=4 y=4-x алгебра 11 класс вычисление площади графики функций интегралы анализ функций Новый

Чтобы вычислить площадь области, заключенной между параболой и прямой, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем процесс поэтапно.

Шаг 1: Найти точки пересечения кривых

Сначала найдем точки пересечения параболы и прямой. Для этого приравняем уравнения:

• y = x^2 - 3x + 4 (парабола)
• y = 4 - x (прямая)

Приравняем их:

x^2 - 3x + 4 = 4 - x

Упростим это уравнение:

x^2 - 3x + x + 4 - 4 = 0

x^2 - 2x = 0

Факторизуем:

x(x - 2) = 0

Таким образом, у нас есть два корня: x = 0 и x = 2.

Шаг 2: Найти значения y в точках пересечения

Теперь подставим найденные x в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения y:

• Для x = 0: y = 4 - 0 = 4.
• Для x = 2: y = 4 - 2 = 2.

Таким образом, точки пересечения: (0, 4) и (2, 2).

Шаг 3: Определить, какая функция выше

Теперь нужно определить, какая из функций выше на интервале [0, 2]. Подставим, например, x = 1:

• y (парабола) = 1^2 - 3*1 + 4 = 2.
• y (прямая) = 4 - 1 = 3.

На этом промежутке прямая выше параболы.

Шаг 4: Вычислить площадь

Площадь области между графиками можно найти, вычислив интеграл разности функций на интервале от 0 до 2:

Площадь = интеграл от 0 до 2 (4 - x - (x^2 - 3x + 4)) dx.

Упростим подынтегральное выражение:

4 - x - x^2 + 3x - 4 = -x^2 + 2x.

Теперь интегрируем:

Площадь = интеграл от 0 до 2 (-x^2 + 2x) dx.

Шаг 5: Вычислить интеграл

Теперь найдем неопределенный интеграл:

• Интеграл (-x^2) = -x^3/3.
• Интеграл (2x) = x^2.

Итак, интеграл будет:

[-x^3/3 + x^2] от 0 до 2.

Теперь подставим пределы:

Для x = 2: -2^3/3 + 2^2 = -8/3 + 4 = -8/3 + 12/3 = 4/3.

Для x = 0: -0 + 0 = 0.

Таким образом, площадь области равна 4/3.

Ответ:

Площадь области, заключенной между параболой y = x^2 - 3x + 4 и прямой y = 4 - x, равна 4/3.