Чтобы вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=64x, y=0, x=e и гиперболой y=1/x, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала мы найдем точки пересечения линий y=64x и y=1/x. Для этого приравняем их:

• 64x = 1/x

Умножим обе стороны на x (при условии, что x не равен 0):

• 64x^2 = 1

Теперь выразим x:

• x^2 = 1/64
• x = 1/8 или x = -1/8 (но нас интересует только положительное значение, так как x=e > 0).

Теперь у нас есть две важные границы:

• Первая граница - точка пересечения x=1/8.
• Вторая граница - x=e.

Площадь фигуры будет находиться между кривыми y=64x и y=1/x от x=1/8 до x=e. Площадь можно выразить следующим образом:

• Площадь = интеграл от 1/8 до e (верхняя функция - нижняя функция) dx
• где верхняя функция - y=1/x, а нижняя - y=64x.

Таким образом, мы можем записать интеграл:

• Площадь = интеграл от 1/8 до e (1/x - 64x) dx.

Теперь нам нужно вычислить интеграл:

• Интеграл (1/x) dx = ln|x|.
• Интеграл (64x) dx = 32x^2.

Следовательно, интеграл можно записать как:

• Площадь = [ln|x| - 32x^2] от 1/8 до e.

Теперь подставим границы:

• Площадь = (ln(e) - 32e^2) - (ln(1/8) - 32(1/8)^2).

Зная, что ln(e) = 1 и ln(1/8) = -3ln(2),подставим эти значения:

• Площадь = (1 - 32e^2) - (-3ln(2) - 32/64).

Упростим это выражение:

• Площадь = 1 - 32e^2 + 3ln(2) + 0.5.

В итоге, площадь фигуры будет равна:

• Площадь = 1.5 - 32e^2 + 3ln(2).

Теперь вы можете подставить значение e и вычислить площадь с точностью до необходимого вам количества знаков после запятой.