Похожие вопросы
2025-01-11 23:25:44
Как вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=64x, y=0, x=e и гиперболой y=1/x?
Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми площадь плоской фигуры вычисление площади алгебра 11 класс гипербола ограниченные линии интеграл y=64x y=0 x=e y=1/x
2025-01-11 23:25:58
Чтобы вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=64x, y=0, x=e и гиперболой y=1/x, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.
Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков.Сначала мы найдем точки пересечения линий y=64x и y=1/x. Для этого приравняем их:
- 64x = 1/x
Умножим обе стороны на x (при условии, что x не равен 0):
- 64x^2 = 1
Теперь выразим x:
- x^2 = 1/64
- x = 1/8 или x = -1/8 (но нас интересует только положительное значение, так как x=e > 0).
Теперь у нас есть две важные границы:
- Первая граница - точка пересечения x=1/8.
- Вторая граница - x=e.
Площадь фигуры будет находиться между кривыми y=64x и y=1/x от x=1/8 до x=e. Площадь можно выразить следующим образом:
- Площадь = интеграл от 1/8 до e (верхняя функция - нижняя функция) dx
- где верхняя функция - y=1/x, а нижняя - y=64x.
Таким образом, мы можем записать интеграл:
- Площадь = интеграл от 1/8 до e (1/x - 64x) dx.
Теперь нам нужно вычислить интеграл:
- Интеграл (1/x) dx = ln|x|.
- Интеграл (64x) dx = 32x^2.
Следовательно, интеграл можно записать как:
- Площадь = [ln|x| - 32x^2] от 1/8 до e.
Теперь подставим границы:
- Площадь = (ln(e) - 32e^2) - (ln(1/8) - 32(1/8)^2).
Зная, что ln(e) = 1 и ln(1/8) = -3ln(2), подставим эти значения:
- Площадь = (1 - 32e^2) - (-3ln(2) - 32/64).
Упростим это выражение:
- Площадь = 1 - 32e^2 + 3ln(2) + 0.5.
В итоге, площадь фигуры будет равна:
- Площадь = 1.5 - 32e^2 + 3ln(2).
Теперь вы можете подставить значение e и вычислить площадь с точностью до необходимого вам количества знаков после запятой.