Как можно определить площадь области, заключенной между графиками функций у=-x^2-4x и у=4+x?

Алгебра 11 класс Площадь фигуры, ограниченной кривыми определение площади графики функций алгебра 11 класс у=-x^2-4x у=4+x область между графиками Новый

Чтобы определить площадь области, заключенной между графиками функций у = -x^2 - 4x и у = 4 + x, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найти точки пересечения графиков.

Для начала, мы должны решить уравнение, полученное при равенстве двух функций:

-x^2 - 4x = 4 + x

Переносим все члены в одну сторону:

-x^2 - 4x - 4 - x = 0

Это упростится до:

-x^2 - 5x - 4 = 0

Умножим на -1, чтобы избавиться от отрицательного знака:

x^2 + 5x + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * 4 = 25 - 16 = 9

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня:

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-5 + 3) / 2 = -1

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-5 - 3) / 2 = -4

Таким образом, точки пересечения находятся в x = -1 и x = -4.

Шаг 2: Определить, какая функция выше.

Теперь нужно определить, какая из функций выше на интервале [-4, -1]. Для этого можно подставить любое значение из этого интервала, например, x = -2:

Для у = -x^2 - 4x:

y1 = -(-2)^2 - 4*(-2) = -4 + 8 = 4

Для у = 4 + x:

y2 = 4 + (-2) = 2

Так как 4 > 2, то график функции у = -x^2 - 4x находится выше графика у = 4 + x на интервале [-4, -1].

Шаг 3: Найти площадь области между графиками.

Теперь можем вычислить площадь между графиками, используя интегралы. Площадь S можно найти по формуле:

S = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx

В нашем случае это будет:

S = ∫[-4, -1] ((-x^2 - 4x) - (4 + x)) dx

Упростим интеграл:

S = ∫[-4, -1] (-x^2 - 4x - 4 - x) dx = ∫[-4, -1] (-x^2 - 5x - 4) dx

Шаг 4: Вычислить интеграл.

Теперь найдем первообразную:

∫(-x^2 - 5x - 4) dx = -1/3 * x^3 - (5/2) * x^2 - 4x

Теперь подставим пределы интегрирования:

S = [-1/3 * (-1)^3 - (5/2) * (-1)^2 - 4*(-1)] - [-1/3 * (-4)^3 - (5/2) * (-4)^2 - 4*(-4)]

Вычисляем каждую часть:

S = [-1/3 * (-1) - (5/2) * 1 + 4] - [-1/3 * (-64) - (5/2) * 16 + 16]

После упрощения мы получим значение площади S.

Шаг 5: Ответ.

Таким образом, вычислив интеграл, мы найдем площадь области, заключенной между графиками данных функций.