Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y = x^2 + 3x - 3 и y = x, необходимо выполнить несколько шагов:

1. Найти точки пересечения кривых. Для этого нужно приравнять уравнения:
• x^2 + 3x - 3 = x.
2. Переносим все в одну сторону:
• x^2 + 3x - x - 3 = 0,
• x^2 + 2x - 3 = 0.
3. Решаем квадратное уравнение: Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 2, c = -3.
4. Находим дискриминант:
• D = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16.
5. Находим корни:
• x1 = (-2 + √16) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 1,
• x2 = (-2 - √16) / 2 = (-2 - 4) / 2 = -3.
6. Теперь у нас есть точки пересечения: x = -3 и x = 1.
7. Находим площадь, ограниченную кривыми: Для этого используем интеграл:
• Площадь = ∫(y_верх - y_низ) dx от x = -3 до x = 1.
8. Определяем, какая функция выше: Подставим точки пересечения в уравнения:
• Для x = -3: y1 = (-3)^2 + 3*(-3) - 3 = 0, y2 = -3 => y1 > y2.
• Для x = 1: y1 = 1^2 + 3*1 - 3 = 1, y2 = 1 => y1 = y2.
9. Итак, мы видим, что y = x^2 + 3x - 3 выше y = x на интервале от -3 до 1.
10. Теперь можем записать интеграл:
• Площадь = ∫[от -3 до 1] ((x^2 + 3x - 3) - x) dx.
11. Упрощаем интеграл:
• Площадь = ∫[от -3 до 1] (x^2 + 2x - 3) dx.
12. Находим неопределенный интеграл:
• ∫(x^2 + 2x - 3) dx = (1/3)x^3 + x^2 - 3x.
13. Теперь подставляем границы интегрирования:
• Площадь = [(1/3)(1)^3 + (1)^2 - 3(1)] - [(1/3)(-3)^3 + (-3)^2 - 3(-3)].
14. Вычисляем:
• Для x = 1: (1/3) + 1 - 3 = (1/3) - 2 = -5/3.
• Для x = -3: (1/3)(-27) + 9 + 9 = -9 + 18 = 9.
15. Теперь находим площадь:
• Площадь = -5/3 - 9 = -5/3 - 27/3 = -32/3.
16. Поскольку площадь не может быть отрицательной, берем модуль:
• Площадь = 32/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна 32/3 квадратных единиц.