Как можно найти промежутки, где функция f(x) возрастает или убывает?

1. f(x) = x² * e^x
2. f(x) = x³ - 3ln(2x)

Алгебра 11 класс Анализ функций промежутки функции возрастает убывает f(x) = x² * e^x f(x) = x³ - 3ln(2x) анализ функции алгебра 11 класс Новый

Чтобы определить промежутки, где функция возрастает или убывает, необходимо выполнить несколько шагов. Мы будем использовать производные. Давайте рассмотрим каждый из примеров по отдельности.

1. Функция f(x) = x² * e^x

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

• Используем правило произведения: (u*v)' = u'v + uv'.
• Здесь u = x², v = e^x. Тогда u' = 2x, v' = e^x.
• Теперь применим правило: f'(x) = (2x)e^x + (x²)(e^x) = e^x(2x + x²).

Шаг 2: Найдем нули производной.

• Уравнение f'(x) = 0: e^x(2x + x²) = 0.
• Поскольку e^x никогда не равно нулю, решаем 2x + x² = 0.
• Факторизуем: x(2 + x) = 0.
• Таким образом, x = 0 или x = -2.

Шаг 3: Определим знаки производной на промежутках.

• Разобьем числовую ось на промежутки: (-∞, -2), (-2, 0), (0, +∞).
• Выберем тестовые точки:
• Для (-∞, -2), например, x = -3: f'(-3) = e^(-3)(2*(-3) + (-3)²) = e^(-3)(-6 + 9) > 0 (возрастает).
• Для (-2, 0), например, x = -1: f'(-1) = e^(-1)(2*(-1) + (-1)²) = e^(-1)(-2 + 1) < 0 (убывает).
• Для (0, +∞), например, x = 1: f'(1) = e^(1)(2*1 + 1²) > 0 (возрастает).

Шаг 4: Итог.

• Функция возрастает на промежутках: (-∞, -2) и (0, +∞).
• Функция убывает на промежутке: (-2, 0).

2. Функция f(x) = x³ - 3ln(2x)

Шаг 1: Найдем производную функции f(x).

• f'(x) = 3x² - 3*(1/(2x))*2 = 3x² - 3/x = 3(x² - 1/x).

Шаг 2: Найдем нули производной.

• Уравнение f'(x) = 0: 3(x² - 1/x) = 0.
• Упрощаем: x² - 1/x = 0 или x³ - 1 = 0.
• Таким образом, x³ = 1, x = 1.

Шаг 3: Определим знаки производной на промежутках.

• Разобьем числовую ось на промежутки: (0, 1), (1, +∞).
• Выберем тестовые точки:
• Для (0, 1), например, x = 0.5: f'(0.5) = 3(0.5)² - 3/(0.5) < 0 (убывает).
• Для (1, +∞), например, x = 2: f'(2) = 3(2)² - 3/2 > 0 (возрастает).

Шаг 4: Итог.

• Функция убывает на промежутке: (0, 1).
• Функция возрастает на промежутке: (1, +∞).

Таким образом, мы определили промежутки, где функции возрастает или убывает, используя производные и анализ знаков производной на различных промежутках.