Как можно найти промежутки, на которых функции возрастают или убывают для следующих примеров:
а) f(x)=-x^2+4x-3
б) f(x)=sin(3x)-4x?

Алгебра 11 класс Анализ функций промежутки возрастания промежутки убывания функции алгебра 11 класс f(x)=-x^2+4x-3 f(x)=sin(3x)-4x Новый

Чтобы определить промежутки, на которых функции возрастают или убывают, нужно воспользоваться производной. Производная функции показывает, как изменяется значение функции при изменении аргумента. Если производная положительна, функция возрастает; если отрицательна, функция убывает.

Рассмотрим оба примера по очереди.

а) f(x) = -x^2 + 4x - 3

1. Находим производную:

   Производная функции f(x) будет f'(x) = -2x + 4.

2. Находим критические точки:

   Для этого приравняем производную к нулю:

   -2x + 4 = 0.

   Решаем это уравнение:

   -2x = -4 => x = 2.

3. Определяем знаки производной:

   Теперь нужно протестировать знаки производной на интервалах, которые определяются критической точкой x = 2. Мы проверим интервалы (-∞, 2) и (2, ∞).

   • Для x < 2, например, x = 0: f'(0) = -2(0) + 4 = 4 (положительно), значит функция возрастает на интервале (-∞, 2).
   • Для x > 2, например, x = 3: f'(3) = -2(3) + 4 = -2 (отрицательно), значит функция убывает на интервале (2, ∞).
4. Итог:

   Функция f(x) возрастает на промежутке (-∞, 2) и убывает на промежутке (2, ∞).

б) f(x) = sin(3x) - 4x

1. Находим производную:

   Производная функции f(x) будет f'(x) = 3cos(3x) - 4.

2. Находим критические точки:

   Приравниваем производную к нулю:

   3cos(3x) - 4 = 0.

   Решаем это уравнение:

   3cos(3x) = 4 => cos(3x) = 4/3. Это уравнение не имеет решений, так как значение косинуса не может превышать 1.

3. Определяем знаки производной:

   Теперь нужно понять, где производная положительна или отрицательна. Заметим, что 3cos(3x) может принимать значения от -3 до 3. Следовательно, f'(x) = 3cos(3x) - 4 всегда будет отрицательной, так как 3cos(3x) < 4.

4. Итог:

   Функция f(x) убывает на всей области определения.

Таким образом, мы нашли промежутки, на которых функции возрастают или убывают, для обоих примеров. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!