Как можно найти решение уравнения 3•9^x=2•15^x+5•25^x?

Алгебра 11 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения алгебра 11 класс 3•9^x=2•15^x+5•25^x уравнения с переменной методы решения уравнений Новый

Чтобы решить уравнение 3•9^x = 2•15^x + 5•25^x, начнем с преобразования каждого члена уравнения, чтобы упростить его.

Шаг 1: Подставим степени

• 9 можно представить как 3^2, поэтому 9^x = (3^2)^x = 3^(2x).
• 15 можно представить как 3•5, поэтому 15^x = (3•5)^x = 3^x•5^x.
• 25 можно представить как 5^2, поэтому 25^x = (5^2)^x = 5^(2x).

Теперь перепишем уравнение, подставив эти преобразования:

3•3^(2x) = 2•(3^x•5^x) + 5•(5^(2x))

Шаг 2: Упростим уравнение

Левую часть уравнения можно упростить:

• 3•3^(2x) = 3^(2x + 1).

Теперь у нас есть:

3^(2x + 1) = 2•(3^x•5^x) + 5•(5^(2x))

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на 5^(-2x)

Это поможет избавиться от 5^(2x) в правой части:

5^(-2x)•3^(2x + 1) = 2•(5^(-x))•(3^x) + 5

Шаг 4: Введем замену

Обозначим:

• y = 3^x,
• z = 5^x.

Теперь уравнение можно переписать как:

5^(-2x)•3^(2x + 1) = 2•(5^(-x))•(3^x) + 5

Подставим y и z:

(y^2•3) / z^2 = 2•(y/z) + 5

Шаг 5: Упростим уравнение

Умножим обе стороны на z^2:

y^2•3 = 2•y•z + 5z^2

Шаг 6: Перепишем уравнение в стандартной форме

y^2•3 - 2•y•z - 5z^2 = 0

Это квадратное уравнение относительно y. Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

Где:

• a = 3,
• b = -2z,
• c = -5z^2.

Теперь подставим значения в формулу и найдем y.

Шаг 7: Найдем корни

После нахождения y, вернемся к x, используя y = 3^x и z = 5^x.

Таким образом, мы можем найти значение x, решая уравнение для y и подставляя обратно.

Это общий план решения. Если у вас есть конкретные вопросы по каждому шагу, пожалуйста, дайте знать!