Чтобы решить уравнение 3 * 16 ^ x - 36 ^ x - 2 * 81 ^ x = 0, давайте начнем с того, что упростим его, выразив все числа через степени.

Во-первых, заметим, что:

• 16 = 2^4, значит 16^x = (2^4)^x = 2^(4x);
• 36 = 6^2, значит 36^x = (6^2)^x = 6^(2x);
• 81 = 3^4, значит 81^x = (3^4)^x = 3^(4x).

Теперь перепишем уравнение, подставив эти выражения:

3 * 2^(4x) - 6^(2x) - 2 * 3^(4x) = 0.

Теперь мы можем выразить 6^(2x) через 2^(2x) и 3^(2x):

6^(2x) = (2 * 3)^(2x) = 2^(2x) * 3^(2x).

Подставим это обратно в уравнение:

3 * 2^(4x) - 2^(2x) * 3^(2x) - 2 * 3^(4x) = 0.

Теперь давайте сделаем замену:

• Обозначим u = 2^(2x);
• Обозначим v = 3^(2x).

Тогда у нас получится:

3 * u^2 - u * v - 2 * v^2 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно u:

3u^2 - uv - 2v^2 = 0.

Решим это уравнение с помощью формулы для квадратных уравнений:

u = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 3, b = -v, c = -2v^2.

Подставляем значения:

b^2 - 4ac = (-v)^2 - 4 * 3 * (-2v^2) = v^2 + 24v^2 = 25v^2.

Таким образом, у нас есть:

u = (v ± 5v) / 6.

Теперь найдем два возможных значения для u:

• u1 = (6v) / 6 = v;
• u2 = (-4v) / 6 = -2/3v (это значение не подходит, так как u не может быть отрицательным).

Теперь получаем, что:

u = v.

Подставим обратно наши обозначения:

2^(2x) = 3^(2x).

Теперь возьмем логарифм обеих сторон:

log(2^(2x)) = log(3^(2x)).

Это можно переписать как:

2x * log(2) = 2x * log(3).

Если 2x ≠ 0, то можем разделить обе стороны на 2x:

log(2) = log(3),

что невозможно. Значит, 2x = 0, и x = 0.

Таким образом, единственное решение уравнения: