Как можно решить уравнение 3*16^x + 2*81^x - 5*36^x = 0?

Алгебра 11 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения алгебра 11 класс уравнение 3*16^x 2*81^x 5*36^x методы решения уравнений алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 3*16^x + 2*81^x - 5*36^x = 0, давайте сначала упростим его, выразив все степени через одну базу. Заметим, что 16, 81 и 36 можно представить как степени 4, 3 и 6 соответственно:

• 16 = 4^2 = (2^2)^2 = 2^4
• 81 = 3^4
• 36 = 6^2 = (2*3)^2 = 2^2 * 3^2

Теперь перепишем уравнение, используя эти выражения:

• 16^x = (2^4)^x = 2^(4x)
• 81^x = (3^4)^x = 3^(4x)
• 36^x = (2^2 * 3^2)^x = 2^(2x) * 3^(2x)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

3*2^(4x) + 2*3^(4x) - 5*(2^(2x) * 3^(2x)) = 0.

Теперь давайте сделаем замену переменных для упрощения. Пусть:

• u = 2^(2x)
• v = 3^(2x)

Тогда:

• 2^(4x) = (2^(2x))^2 = u^2
• 3^(4x) = (3^(2x))^2 = v^2

Теперь уравнение можно переписать так:

3*u^2 + 2*v^2 - 5*u*v = 0.

Это уравнение является квадратным относительно u и v. Мы можем попытаться выразить его в стандартной форме:

3u^2 - 5uv + 2v^2 = 0.

Теперь применим формулу для решения квадратного уравнения:

• a = 3
• b = -5v
• c = 2v^2

Находим дискриминант D:

D = b^2 - 4ac = (-5v)^2 - 4*3*2v^2 = 25v^2 - 24v^2 = v^2.

Теперь находим корни уравнения:

u = (5v ± sqrt(v^2)) / (2*3) = (5v ± v) / 6.

Это дает два корня:

• u1 = (5v + v) / 6 = 6v / 6 = v;
• u2 = (5v - v) / 6 = 4v / 6 = 2v / 3.

Теперь подставим обратно значения для u и v:

1. u = v означает 2^(2x) = 3^(2x).

Это можно переписать как (2/3)^(2x) = 1, что дает 2x = 0, и, следовательно, x = 0.

2. u = (2v / 3) означает 2^(2x) = (2/3) * 3^(2x).

Это можно переписать как 2^(2x) = 2^(1) * 3^(2x) / 3, что приводит к 2^(2x-1) = 3^(2x-1).

Теперь мы можем исследовать это уравнение, но так как обе стороны являются экспонентами, мы можем использовать логарифмы, чтобы решить его.

Таким образом, у нас есть два решения:

• x = 0;
• Для второго уравнения мы можем использовать логарифмы, чтобы найти другие возможные значения x.

В итоге, основное решение уравнения 3*16^x + 2*81^x - 5*36^x = 0 — это x = 0.