Как можно найти решение уравнения sin^2x + 2sinxcosx - 3cos^2x = 0? Какие методы и принципы стоит применять для поиска решения?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрической функции решение уравнения методы решения алгебра 11 класс тригонометрические уравнения sin^2x cos^2x поиск решения алгебраические методы уравнения с синусом и косинусом Новый

Для решения уравнения sin^2x + 2sinxcosx - 3cos^2x = 0, мы можем использовать несколько шагов и методы. Давайте рассмотрим их по порядку.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Сначала мы можем попробовать выразить одно тригонометрическое выражение через другое. Мы знаем, что sin^2x + cos^2x = 1. Это позволяет нам заменить sin^2x или cos^2x, если это будет удобно. В нашем случае, давайте выразим sin^2x через cos^2x:

• sin^2x = 1 - cos^2x.

Теперь подставим это в уравнение:

(1 - cos^2x) + 2sinxcosx - 3cos^2x = 0.

Также, мы можем выразить sinx через cosx, используя формулу sinx = sqrt(1 - cos^2x), но давайте попробуем упростить уравнение без этого.

Шаг 2: Упрощение уравнения

Теперь упростим уравнение:

1 - cos^2x + 2sinxcosx - 3cos^2x = 0.

Соберем все члены:

1 + 2sinxcosx - 4cos^2x = 0.

Шаг 3: Замена переменной

Теперь давайте сделаем замену переменной. Пусть t = cosx. Тогда sinx = sqrt(1 - t^2), и уравнение примет следующий вид:

1 + 2sqrt(1 - t^2)t - 4t^2 = 0.

Шаг 4: Решение полученного уравнения

Теперь мы можем решить это уравнение для t. Это может быть сложным, так что давайте упростим его. Мы можем выразить sqrt(1 - t^2) через t и подставить обратно. После преобразования у нас получится квадратное уравнение, которое можно решить стандартными методами (например, через дискриминант).

Шаг 5: Находим корни

После нахождения корней t, мы можем вернуться к тригонометрическим функциям:

• cosx = t;
• sinx = sqrt(1 - t^2).

Теперь, зная значения cosx, мы можем найти x, используя обратные тригонометрические функции:

• x = arccos(t) + 2kπ, где k - целое число;
• x = -arccos(t) + 2kπ.

Шаг 6: Проверка решений

Наконец, не забудьте проверить полученные значения x, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они действительно являются решениями.

Таким образом, мы можем найти все решения данного уравнения, используя методы преобразования, замены переменной и решения квадратного уравнения.