Чтобы решить уравнение 3sin^2(x) + 5sin(x) - 2 = 0, начнем с замены переменной. Обозначим y = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

3y^2 + 5y - 2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 3
• b = 5
• c = -2

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

y = (-5 ± √(5^2 - 4 * 3 * (-2))) / (2 * 3)

Сначала посчитаем дискриминант:

5^2 - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49

Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:

y = (-5 ± √49) / 6

Так как √49 = 7, получаем:

y = (-5 ± 7) / 6

Теперь найдем два возможных значения y:

1. y1 = (-5 + 7) / 6 = 2 / 6 = 1/3
2. y2 = (-5 - 7) / 6 = -12 / 6 = -2

Теперь нам нужно найти значения sin(x). Мы имеем:

sin(x) = 1/3

sin(x) = -2

Рассмотрим первое значение:

Для sin(x) = 1/3 мы можем найти x, используя арксинус:

x = arcsin(1/3)

Так как синус положителен, x будет находиться в первом и втором квадранте:

x1 = arcsin(1/3

x2 = π - arcsin(1/3)

Теперь рассмотрим второе значение:

Для sin(x) = -2 нет решений, так как синус не может принимать значения больше 1 или меньше -1.

Итак, окончательные решения уравнения 3sin^2(x) + 5sin(x) - 2 = 0:

x = arcsin(1/3) + 2kπ и x = π - arcsin(1/3) + 2kπ, где k - любое целое число.