Как решить уравнение: 4sin(в 4 степени)2x+3cos4x-1=0?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрической функции решить уравнение алгебра тригонометрические функции синус косинус уравнение с синусом уравнение с косинусом метод решения уравнений математические задачи алгебраические уравнения Новый

Для решения уравнения 4sin^4(2x) + 3cos(4x) - 1 = 0 мы будем использовать некоторые тригонометрические тождества и подстановки. Давайте разберем его шаг за шагом.

1. Перепишем уравнение:

   У нас есть уравнение в виде:

   4sin^4(2x) + 3cos(4x) - 1 = 0

2. Используем тождество для cos(4x):

   Мы знаем, что:

   cos(4x) = 2cos^2(2x) - 1

   Теперь подставим это в уравнение:

   4sin^4(2x) + 3(2cos^2(2x) - 1) - 1 = 0

3. Упростим уравнение:

   Раскроем скобки:

   4sin^4(2x) + 6cos^2(2x) - 3 - 1 = 0

   Это упростится до:

   4sin^4(2x) + 6cos^2(2x) - 4 = 0

4. Используем тождество sin^2 + cos^2 = 1:

   Выразим cos^2(2x) через sin^2(2x):

   cos^2(2x) = 1 - sin^2(2x)

   Подставим это в уравнение:

   4sin^4(2x) + 6(1 - sin^2(2x)) - 4 = 0

5. Упростим уравнение снова:

   Раскроем скобки:

   4sin^4(2x) + 6 - 6sin^2(2x) - 4 = 0

   Получаем:

   4sin^4(2x) - 6sin^2(2x) + 2 = 0

6. Замена переменной:

   Обозначим:

   y = sin^2(2x)

   Тогда уравнение примет вид:

   4y^2 - 6y + 2 = 0

7. Решим квадратное уравнение:

   Используем формулу для решения квадратного уравнения:

   y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

   Где a = 4, b = -6, c = 2. Подставляем:

   y = (6 ± √((-6)^2 - 4 * 4 * 2)) / (2 * 4)

   y = (6 ± √(36 - 32)) / 8

   y = (6 ± √4) / 8

   y = (6 ± 2) / 8

   y1 = 8 / 8 = 1, y2 = 4 / 8 = 0.5

8. Вернемся к переменной sin(2x):

   Теперь у нас есть:

   sin^2(2x) = 1 и sin^2(2x) = 0.5

   Решим каждое из уравнений:

   • Для sin^2(2x) = 1:

   sin(2x) = ±1

   2x = π/2 + kπ, где k – целое число

   x = π/4 + kπ/2

   • Для sin^2(2x) = 0.5:

   sin(2x) = ±√0.5 = ±√2/2

   2x = π/4 + kπ и 2x = 3π/4 + kπ, где k – целое число

   x = π/8 + kπ/2 и x = 3π/8 + kπ/2

9. Итоговые решения:

   Таким образом, общее решение уравнения:

   x = π/4 + kπ/2, x = π/8 + kπ/2, x = 3π/8 + kπ/2, где k – целое число.

Если у вас возникнут вопросы по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!