Вопрос по алгебре: 6 sin^2x - sinx = 1. Можете, пожалуйста, подробно решить это уравнение?

Алгебра 11 класс Уравнения тригонометрической функции алгебра 11 класс уравнение 6 sin^2x - sinx = 1 решение Тригонометрия синус математический анализ квадратное уравнение подробное решение Новый

Давайте подробно разберем уравнение 6 sin²x - sinx = 1. Это уравнение является квадратным относительно sinx, поэтому мы можем решить его, приведя к стандартной форме квадратного уравнения.

Шаг 1: Приведение уравнения к стандартной форме

Для начала перенесем все члены уравнения в одну сторону:

6 sin²x - sinx - 1 = 0.

Шаг 2: Обозначим переменную

Для удобства введем обозначение:

y = sinx.

Тогда наше уравнение превращается в:

6y² - y - 1 = 0.

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы для нахождения корней:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a,

где a = 6, b = -1, c = -1.

Шаг 4: Подставляем значения a, b и c

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 6 * (-1) = 1 + 24 = 25.
• Теперь найдем корни:
• y = (1 ± √25) / (2 * 6).

Шаг 5: Находим корни

• Первый корень: y₁ = (1 + 5) / 12 = 6 / 12 = 0.5.
• Второй корень: y₂ = (1 - 5) / 12 = -4 / 12 = -1/3.

Шаг 6: Возвращаемся к sinx

Теперь у нас есть два значения для y:

• sinx = 0.5,
• sinx = -1/3.

Шаг 7: Находим x для sinx = 0.5

Значение sinx = 0.5 соответствует углам:

• x = π/6 + 2kπ, k ∈ Z (первый квадрант),
• x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z (второй квадрант).

Шаг 8: Находим x для sinx = -1/3

Теперь найдем углы, для которых sinx = -1/3. Это значение не является стандартным, поэтому мы можем использовать арксинус:

• x = arcsin(-1/3) + 2kπ, k ∈ Z (четвертый квадрант),
• x = π - arcsin(-1/3) + 2kπ, k ∈ Z (третий квадрант).

Шаг 9: Записываем окончательный ответ

Таким образом, общее решение уравнения 6 sin²x - sinx = 1 будет:

• x = π/6 + 2kπ, k ∈ Z,
• x = 5π/6 + 2kπ, k ∈ Z,
• x = arcsin(-1/3) + 2kπ, k ∈ Z,
• x = π - arcsin(-1/3) + 2kπ, k ∈ Z.

Вот и все! Мы подробно разобрали решение данного уравнения. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь задавать!